Son estos dos campos de la misma?

Question

Quería saber si el campo $\mathbb{Q}(i\sqrt{7}) = \mathbb{Q}(\sqrt{7}, i)$ son los mismos. No creo que se porque $i \notin \mathbb{Q}(i\sqrt{7})$?

Answer 1

Desde $i\sqrt7$ es una raíz del polinomio $X^2+7$, la extensión de $[\Bbb Q(i\sqrt 7):\Bbb Q]$ tiene el grado $2$. Así que si $i$ pertenece a ella, debe ser $$i=a+bi\sqrt7$$ para algunos racionales $a,b$. Tenga en cuenta que $b$ puede no ser $0$.

Aislar $a$ y cuadrado, $$-1-7b^2+2b\sqrt 7=a^2$$ o $$\sqrt7=\frac{1+7b^2+a^2}{2b}$$ lo cual es imposible.

Answer 2

$$r:=i\sqrt7\implies r^2=-7\implies\;\;\text{the rational polynomial}\;\; x^2+7$$

es el polinomio mínimo de a $\;i\sqrt7\;$ $\;\Bbb Q\;$ (uso de Eisenstein para probar que es irreducible o directamente con el discriminante), y por lo tanto

$$[\Bbb Q(i\sqrt7):\Bbb Q]=2\;.$$

Por otro lado, y desde $\;i\notin\Bbb Q(\sqrt7)\;$ , $\;x^2+1\;$ es el polinomio mínimo de a$\;i\;$$\;\Bbb Q(\sqrt7)\;$ , y por lo tanto

$$[\Bbb Q(i,\sqrt7):\Bbb Q]=[\Bbb Q(\sqrt7)(i):\Bbb Q(\sqrt7)]\cdot[\Bbb Q(\sqrt7):\Bbb Q]=2\cdot2=4\;$$

Answer 3

Escrito $\alpha=i\sqrt7$, en el campo de Q[$\alpha$] el elelments son de la forma $a+b\alpha$ , $a,b$ racionales, y por lo tanto el único números reales en ese campo son racionales, por lo que no contiene el número de $\sqrt7$ desde el otro campo.

Answer 4

Sugerencia $\ [\Bbb Q(\sqrt a,\sqrt b):\Bbb Q] = 4\,$ si $\,\sqrt a,\sqrt b,\sqrt{ab}\,$ $\,\not\in \Bbb Q,\,$ por el simple Lema aquí.