EDITADO: Encontrar la derivada de $f(x)=a^x$, utilizando la definición de la derivada.

Question

EDITADO:

Quiero preguntar MSE para confirmar la corrección de la alternativa de solución y su error.

Mi intento anterior estaba mal,por Eso he hecho una nueva iniciativa.

Utilizando la definición de la derivada yo quería encontrar la derivada de la función $f(x)=a^x$.

Aquí $a≠0,a\in \mathbb{R^{+}}$ $a^x=e^{x \ln a}$

Escribí estas:

$(a^x)'=\lim_{\delta x\to 0}\frac{a^{x+\delta x}-a^x}{\delta x}=a^x×\lim_{\delta x\to 0}\frac {a^{\delta x}-1}{\delta x}$

Ahora,debo encontrar a $\lim_{\delta x\to 0}\frac {a^{\delta x}-1}{\delta x}$

He tratado de hacer algo:

$$a^{\frac{\delta x}{a^{\delta x}-1}}=\left(1+\left(a^{\delta x}-1\right)\right)^{\frac{1}{a^{\delta x}-1}}$$

$$\lim_{\delta x \to 0} {a^{{\frac {\delta x}{a^{\delta x}-1}}}}=\lim_{\delta x \to 0} {{\left(1+\left(a^{\delta x}-1\right)\right)^{\frac{1}{a^{\delta x}-1}}}}$$

$$a^{\lim_{\delta x\to 0}{{{\frac {\delta x}{a^{\delta x}-1}}}}}=\lim_{\delta x \to 0} {{\left(1+\left(a^{\delta x}-1\right)\right)^{\frac{1}{a^{\delta x}-1}}}}$$

$$a^{\lim_{\delta x\to 0}{{{\frac {\delta x}{a^{\delta x}-1}}}}}=e$$

$$\lim_{\delta x\to 0}{{{\frac {\delta x}{a^{\delta x}-1}}}}=\log_a{e}$$

$$\frac{1}{\lim_{\delta x\to 0}{{{\frac {\delta x}{a^{\delta x}-1}}}}}=\frac{1}{\log_a{e}},\log_a{e}≠0$$

$$\lim_{\delta x\to 0} \frac {1}{ \frac{\delta x}{a^{\delta x}-1}}=\ln a$$

$$\lim_{\delta x\to 0}\frac {a^{\delta x}-1}{\delta x}=\ln a$$

He utilizado:

• $\lim_{n\to 0}{n}=\lim_{\delta x\to 0}{(a^{\delta x}-1)}=a^0-1=0$

• $\lim_{\delta x \to 0} {{\left(1+\left(a^{\delta x}-1\right)\right)^{\frac{1}{a^{\delta x}-1}}}}=\lim_{n\to 0}{(1+n)^{\frac 1n}}=e$

Finalmente,

$$(a^x)'=\lim_{\delta x\to 0}\frac{a^{x+\delta x}-a^x}{\delta x}=a^x×\lim_{\delta x\to 0}\frac {a^{\delta x}-1}{\delta x}=a^x \ln a$$

Este método es/manera/solución correcta?

Gracias!

Answer 1

Hay algunas sutilezas aquí.

1. Cómo es $a^x$ define, para un genérico $a>0$ y algunos $x\in\mathbb{R}$? Las formas más comunes son: definir $a^x$ directamente como $\exp\left(x\log a\right)$, o considerar una secuencia de números racionales $\left\{\frac{p_n}{q_n}\right\}_{n\geq 0}$ convergente a $x$ y deje $a^x=\lim_{n\to +\infty}a^{\frac{p_n}{q_n}}$ ;

2. Si tenemos $\lim_{n\to +\infty}f(n)=L$ (límite de una secuencia) no se le concede la que $\lim_{x\to +\infty} f(x)=L$ (límite de una función) sin más supuestos en $f$. Por ejemplo, $\lim_{n\to +\infty}\sin(\pi n)=0$ pero $\lim_{x\to +\infty}\sin(\pi x)$ no existe, así que tenemos que ser cuidadosos en la obtención de $\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\log a$$\lim_{n\to +\infty}\frac{a^{1/n}-1}{1/n}=\log a$;

3. Por otro lado, no hay necesidad de complicar las cosas: $\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}$ es simplemente el valor de la derivada de $a^x$, en el origen. Si sabemos/demostrar que $a^x=\exp\left(x\log a\right)$, $\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\log a$ es una directa consecuencia de la regla de la cadena, dado el la diferenciabilidad de la función exponencial.

Answer 2

Pensé que podría ser instructivo para presentar un camino a seguir se basa en la pre-cálculo sólo herramientas. Para ello contamos con el proeed.

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Si definimos $a^x$ por la expresión $e^{\log(a)\,x}$, entonces podemos escribir

$$\frac{a^x-1}{x}=\frac{e^{\log(a)\,x}-1}{x}\tag 1$$

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En ESTA RESPUESTA, he utilizado sólo el límite de la definición de la función exponencial, junto con la Desigualdad de Bernoulli para mostrar que la función exponencial satisface las desigualdades

$$1+x\le e^x\le \frac{1}{1-x}\tag2$$

para $x<1$.

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La aplicación de $(2)$ $(1)$revela por $0<x<1$

$$ \log(a) \le \frac{a^x-1}{x}\le \frac{\log(a)}{1-\log(a) x}\tag3$$

y para $x<0$

$$\frac{\log(a)}{1-\log(a)x}\le \frac{a^x-1}{x}\le \log(a)\tag 4$$

Finalmente, aplicando el teorema del encaje a $(3)$ $(4)$ se obtiene el codiciado límite

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\log(a)}$$

Y hemos terminado!

Answer 3

Supongo que una manera de proceder es la siguiente. Yo uso $\Delta$ a simplificar la notación. Usted necesita $$\lim_{\Delta \to 0} \frac{a^{\Delta} - 1}{\Delta}$$. Let $a = e^b$ or $b = \ln(a)$. multiplying numerator and denominator by $b$, you get the above equals $$b \cdot \lim_{\Delta \to 0} \frac{e^{b\Delta} -1}{b\Delta}$$ which is the derivative of $e^x$ at $x=0$ which is 1. So the expression you want is $b = \ln$.

Answer 4

Así que aquí está una rápida idea: que $\delta x = \log_a(1 + \frac{1}{n}) \to 0$ $$ \lim_{\delta x \to 0} \frac{a^{\delta x} - 1}{\delta x} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n\cdot \log_a(1 + \frac{1}{n})} = \lim_{n \to \infty} \left(\log_a(1 + \frac{1}{n})^n \right)^{-1} \to \log_a(e)^{-1} = \ln(a)$$

Answer 5

Si aceptamos

$$e^{x} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}$$

A continuación, tratamos de demostrar:

\begin{equation} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1 \end{equation}

Esto va a resolver nuestro problema, porque entonces:

$$\lim_{h \rightarrow 0}\frac{a^{h} - a}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{e^{h\ln(a)} - 1}{h} = \ln(a)\lim_{t \rightarrow 0}\frac{e^{t} - 1}{t} = \ln(a)$$

Donde usamos la sustitución de $t = h\ln(a)$. Ahora utilice el teorema del binomio:

$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{x} - 1}{x} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k}\frac{x^{k}}{n^{k}} - 1}{x} = 1 + \lim_{x \rightarrow 0}\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{k = 2}^{n}\binom{n}{k}\frac{x^{k-1}}{n^{k}}$$

Desde $\binom{n}{k} \leq n^{k}$ todos los $k \geq 0$, tenemos:

$$\left|\sum_{k = 2}^{n}\binom{n}{k}\frac{x^{k-1}}{n^{k}}\right| \leq \sum_{k = 1}^{n-1} |x|^{k} \leq \sum_{k=1}^{\infty}|x|^{k} = \frac{|x|}{1 - |x|}$$

Y así:

$$\lim_{x \rightarrow 0}\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k = 2}^{n}\binom{n}{k}\frac{x^{k-1}}{n^{k}} = 0$$