la pregunta básica acerca de holonomy

Question

Yo estoy luchando para entender cómo las condiciones en la métrica poner condiciones en el holonomy grupo y viceversa. Mi entendimiento es que el holonomy principio dice que hay una correspondencia uno a uno entre el paralelo tensores, constante tensores (es decir, con $\nabla S=0$), y los elementos de la fibra, $E_p$ conservan bajo la holonomy grupo.

Estoy tratando de comprender las 2 siguientes ejemplos:

Si $(M,g)$ es de un colector y tenemos una estructura compleja $J_p:T_pM\to T_pM$ tal que $J_p$ es invariante bajo la holonomy grupo, he leído que para extender $J$ para el conjunto del colector necesitamos Hol$(g)\subset U(n)$. Por qué? No todos necesitamos ese $P_\gamma(J_p)=J_p$. Sé que $U(n)=GL(n,\mathbb{C})\cap O(2n)$. Entonces, ¿por qué la condición de $P_\gamma(J_p)=J_p$ equivalente a $P_\gamma$ desplazamientos con $J$ y la preservación de la $g$?

El otro ejemplo que muestra que Hol$(g)\subset SO(n)$ si y sólo si $M$ es orientable. Así que el uso de la holonomy principio, comenzar con cero $\alpha_p\in \Lambda^n(T^\ast_pM)$. Queremos $\alpha_p$ a ser conservados bajo Hol$(g)$, de modo que puede ser extendido, por el holonomy principio, a un lugar de fuga forma. De nuevo, sólo tenemos $\alpha_p$ a ser fijada por la holonomy grupo. Cómo esto sucede si y sólo si el grupo está contenida en la$(n)$.

Pido disculpas por preguntar 2 preguntas pero creo que el concepto que me falta es el mismo en ambos.

Muchas gracias.

Answer 1

Hay dos cuestiones: Por un lado, si usted ha dado el valor de un tensor en un punto de $p\in M$, usted puede tratar de extender esto a un paralelo tensor sobre todos los de $M$. Si $M$ está conectado, entonces esto es equivalente al hecho de que este valor es invariante bajo la holonomy grupo. El punto aquí es que para definir su extensión en $x\in M$ elige una curva que conecta $p$$x$, y luego el transporte de sus tensor puestas paralelamente a lo largo de esta curva. El resultado es independiente de la elección de la curva si y sólo si el valor es invariante bajo la holonomy grupo. (El transporte de ahí a lo largo de una curva y vuelta a lo largo de los otros medios, la traducción a lo largo de un circuito).

El segundo problema es que generalmente las declaraciones acerca de los holonomy grupos no están formulados con mucho cuidado, ya que uno no distingue entre los subgrupos conjugados. En la central unitaria de caso, uno debe, más precisamente, de decir que "Hol(g) está contenida en un subgrupo conjugado de a $U(n)\subset O(2n)$". (Hol(g) se encuentra en $O(n)$ de la siguiente manera inmediata, ya que de $g$ es preservada por la de Levi-Civita de conexión.) Esto significa, simplemente, que "no es una estructura compleja $J_p$ $T_pM$ que $g(p)$ es Hermitian y que es invariante bajo Hol(g)". (El estándar de la lengua proviene del hecho de que usted sólo tiene que utilizar esta estructura compleja para identificar a $(T_pM,J_p,g(p))$ $\mathbb C^n$ con el estándar de Hermitian interior del producto y, a continuación, Hol(g) realmente se convierte en un subgrupo de $U(n)$. A continuación, la condición exactamente significa que usted puede extender $J_p$ a un paralelo tensor de campo en $M$. Los hechos que $J^2=-id$ y $g$ es Hermitian para $J$ son preservados por el transporte paralelo, esto le da casi una compleja estructura para que $g$ es Hermitian. A continuación, $J$ tiene que ser complejo (integrables), ya que es preservado por la torsión libre de Levi-Civita de conexión de $g$.

Del mismo modo, un subgrupo de $O(n)$ conserva un elemento no nulo de a $\Lambda^n\mathbb R^{n*}$ si y sólo si es contenida en $SO(n)$ (aquí no hay problema de conjugación).

Answer 2

Gracias por la respuesta, ahora entiendo.

También me di cuenta de que $J_p$ también se puede considerar como una aplicación multilineales $J_p:T_pM\times T^\ast_PM\to\mathbb{R}$ bajo la identificación de $$J_p(X_p,\alpha_p)=\alpha_p(J_p(X_p)).$$ Parallel transport naturally extends to tensors of any type. In particular for a $k$-form $\sigma_p$ we would have $(P_\gamma\sigma_p)(X_1,\dots,X_q)=\sigma_p(P_\gamma^{-1}(X_1),\dots,P_\gamma^{-1}(X_k)$, where $X_1,\dots, X_k\en T_qM$ and $\gamma$ is a curve from $p$ to $q$. So working with the $(1,1)$-tensor $J_p$, and a curve $\gamma$ from $p$ to $q$, we have $$(P_\gamma J_p)(X_q,\alpha_q)=J_p(P_\gamma^{-1}X_q,P_\gamma^{-1}(\alpha_q))=P_\gamma^{-1}(\alpha_q)(J_p(P_\gamma^{-1}(X_q)))=\alpha_q(P_\gamma J_pP_\gamma^{-1}(X_q)).$$On the other hand $$J_q(X_q,\alpha_q)=\alpha_q(J_q(X_q)).$$So for these two to be equal we would need $$P_\gamma J_pP_\gamma^{-1}=J_q,$$that is $P_\gamma\en GL(m,\mathbb{C})$.