La "arquitectura" de un grupo finito

Question

Creo que el objetivo de la teoría de grupos finitos es el siguiente:

Dado un grupo finito arbitrario $G$ , estudiar completamente la estructura de subgrupos de $G$ .

Hay al menos dos maneras de lograr este propósito:

1) El enfoque con grupos simples. Gracias al teorema de Jordan-Holder, una vez que se han clasificado todos los grupos simples, entonces, al menos teóricamente, se conocen todos los grupos finitos. Pero en la práctica, dados los factores de composición de un grupo finito es muy difícil (creo que es necesaria la cohomología) encontrar el conjunto de grupos que tienen esos factores de composición. Sin embargo, los grupos no isomorfos pueden tener los mismos factores de composición. Así que mi primera pregunta es: ¿por qué es tan importante clasificar todos los grupos simples finitos, aunque sea difícil volver al grupo finito a partir de sus factores de composición?

2) El enfoque con el subgrupo de ajuste generalizado. Si $G$ es un grupo finito, un subgrupo cc normal ( $H$ es un $cc$ -subgrupo de $G$ si $C_G(H)\le H$ ) controla la estructura de $G$ . De hecho, si $H$ es un $cc$ -subgrupo de $G$ y la estructura de $H$ es conocido, entonces $G/H$ es isomorfo a un subgrupo de $Out(H)$ . Evidentemente, si se encuentra un $cc$ -subgrupo que es particularmente susceptible, entonces es sencillo investigar la estructura del conjunto $G$ . Si $G$ es resoluble, el teorema del ajuste asegura que $F(G)$ es una característica $cc$ -subgrupo por lo que, ya que $F(G)$ es el producto directo de $p$ -el estudio de todos los grupos finitos solubles se reduce a estudiar todos los $p$ -y sus automorfismos. Si $G$ es un grupo finito genérico, Bender introdujo el subgrupo de ajuste generalizado $$F^*(G)=F(G)E(G)$$ que es una característica $cc$ -subgrupo. Mi segunda pregunta es la siguiente: ¿Qué puede decir del grupo $E(G)$ (generado por todos los componentes de $G$ )? ¿Es fácil estudiar su estructura?

Answer 1

El programa de Hölder consta en realidad de dos partes:

1. Clasificar todos los grupos simples finitos.

2. Resuelve el problema de la extensión del grupo.

El problema de extensión de grupos responde a la pregunta, "dados los grupos $A$ y $B$ ¿Cómo podemos encontrar todos los grupos $E$ tal que $E/N\cong A$ para algunos $B\cong N\unlhd E$ ?" Mark Schwarzmann ha copiado un bonito pasaje sobre esto de Dummit y Foote aquí .

Así que la respuesta a su primera pregunta es que la clasificación fue sólo el primer paso. La mayoría de los teóricos de los grupos finitos que trabajan en el programa todavía están limpiando la clasificación, pero algunos han pasado a pensar en (2). Sin embargo, una opinión común parece ser que el problema de la extensión de grupos puede resultar demasiado difícil (o irresoluble). Pero estamos trabajando en ello.

Por supuesto, entender todos los grupos simples finitos tiene muchas otras consecuencias más pequeñas que el programa de Hölder. Los problemas pueden reducirse a menudo a grupos simples finitos en las pruebas por inducción o por contraejemplo mínimo. (Este resultó ser el caso de uno de mis preguntas recientes En realidad, sí).

Su segunda pregunta parece, en su mayor parte, separable de su primera pregunta. (Dicho esto, $F^\star$ se utiliza para separar algunos de los grupos simples en diferentes categorías, por lo que se relaciona en cierto sentido con el "panorama general"). Antes de responder, necesitaremos algunas definiciones, que parece que ya conoces, pero debo publicarlas para asegurarme de que estamos en la misma página (y en beneficio de otros lectores).

Definición. Un grupo $H$ se dice que quasisimple si $H/Z(H)$ es simple y $H$ es perfecto.

Por supuesto, todos los grupos simples finitos no abelianos son cuasi simples. Algunos ejemplos de grupos cuasi simples que no son simples son $\operatorname{SL}_n(\mathbb{F}_q)$ con $n \geq 3$ o $n=2$ y $q>3$ .

Definición. Un subgrupo cuasi simple subnormal de un grupo finito $G$ se llama componente de $G$ .

Como se menciona en los comentarios, los grupos cuasi simples son extensiones centrales de grupos simples finitos no abelianos. Desde el punto de vista de la motivación, será bueno tener esto en cuenta.

Se puede demostrar que $[H,K]=1$ para componentes (distintos) $H,K$ de $G$ . Por lo tanto, todos los componentes se normalizan entre sí, por lo que podemos hacer la siguiente definición.

Definición. La unión de todos los componentes de $G$ es el subgrupo $E(G)$ , llamado el capa de $G$ . Si $G$ no tiene componentes, entonces $E(G)=1$ .

Obsérvese que un grupo soluble no tiene componentes, por lo que se generaliza el subgrupo de ajuste: para los solubles $G$ , $F^*(G)=F(G)E(G)=F(G)$ . Así que se puede pensar en la capa como la parte definitoria del análogo no resoluble del subgrupo de ajuste.

Entonces, ¿qué podemos decir sobre la estructura de $E=E(G)$ ?

Lo más importante, $E/Z(E)$ es semisimple. (Recordemos que los grupos semisimples son productos directos de grupos simples no abelianos). Para mí, éste es el vínculo más obvio con la primera pregunta. En particular, un subgrupo mínimo normal de cualquier grupo finito es abeliano o semisimple, por lo que tratar de entender las extensiones centrales de los grupos simples finitos no abelianos implica entender todos los posibles subgrupos mínimos normales, todos los posibles grupos cuasisimples y todos los posibles estratos, lo cual es bastante importante. Las extensiones centrales son una clase de extensiones relativamente fácil de estudiar, por lo que este problema es bastante menos difícil que el de las extensiones de grupos.

Algunos datos más importantes sobre la capa:

1. Es fácil demostrar que $E$ es perfecto. (Si $\Xi$ es el conjunto de componentes de $G$ , $E=\prod \Xi$ . $H=H'\subseteq E'$ para cualquier $H\in \Xi$ Así que $E=\prod \Xi \subseteq E'$ .)

2. $E$ conmuta con todo subgrupo normal soluble de $G$ .

3. Si $N\unlhd E$ entonces $N=MY$ donde $M$ es el producto de todos los componentes de $G$ contenida en $N$ y $Y=M\cap Z(E)$ .

4. Si $H\unlhd E$ y $C_G(H)\leqslant H$ , $E(G)\leqslant H$ .

Espero que esto ayude.