Quiero demostrar que $\sigma$ -en $\mathbb{R}$ generado por $(a,b), \ (a,b], [a, b), [a,b], (-\infty, a), (-\infty, a], (b, +\infty), [b, +\infty)$ para $a,b \in \mathbb{R}$ y $a,b \in \mathbb{Q}$ son todos iguales.
Esto es lo que se me ha ocurrido hasta ahora:
( $\mathcal{M} $ - sigma-álgebra)
¿Bastaría con decir que $\sigma$ -generadas por $(a,b), \ (a,b], [a, b), [a,b], \ a,b \in \mathbb{R}$ son iguales porque
$(a,b) \in \mathcal{M} \ \Rightarrow \mathbb{R} \setminus (a,b) = (-\infty, a] \cup [b, +\infty) \in \mathcal{M}$ Así que $[a,b] = \bigcap_{n \in \mathbb{N_+}} (a-\frac{1}{n}, b+\frac{1}{n}) = \bigcap_{n \in \mathbb{N_+}} (\mathbb{R} \setminus (-\infty, a-\frac{1}{n}] \cup [ b+\frac{1}{n}, +\infty) )=$
$ = \mathbb{R} \setminus(\bigcup_{n \in \mathbb{N_+}} (-\infty, a-\frac{1}{n}] \cup [ b+\frac{1}{n}, +\infty) ) \in \mathcal{M}$
Del mismo modo, $[a,b) = \bigcap_{n \in \mathbb{N_+}} (a-\frac{1}{n}, b)$ , $(a,b] = \bigcap_{n \in \mathbb{N_+}} (a, b +\frac{1}{n})$ .
Cuando se trata de $(-\infty, a), (-\infty, a], (b, +\infty), [b, +\infty)$ para $a,b \in \mathbb{R}$ ¿sería suficiente decir que $(-\infty, a) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}(-n, a)$ etc.
En caso de $a,b \in \mathbb{Q}$ ¿sería correcto decir que $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ por lo que para cada $r \in \mathbb{R}$ encontraremos una secuencia $\{q_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ que converge a $r$ Así, por ejemplo $(r, b) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}(q_n, b)$ ?
¿Podría decirme si mi planteamiento es correcto?
Por favor, ayuda.
Gracias, señor.
