La propiedad de no negativo función integrable en un número finito de medir el espacio

Question

Deje $f$ ser no negativo, medibles y de la integración de la función de medir el espacio $(\mathbb{R},X,\mu)$ con medida de Lebesgue $\mu$. Entonces, es la siguiente verdad:

$$\forall \epsilon>0\exists E(\mu(E)<+\infty):\int_X f d\mu\le\int_E f d\mu+\epsilon$$

Yo creo que sí, pero soy incapaz de demostrarlo. Creo que está relacionado con el uniforme de integrabilidad de $f$ o de la simple aproximación de funciones integrables. Cualquier sugerencias. Gracias de antemano.

Answer 1

Por el teorema de convergencia monótona, $\int_{[-n,n]}fd\mu=\int_{\mathbb{R}} f\cdot \mathbb{1}_{[-n,n]}d\mu \to \int_{\mathbb{R}} fd\mu$.

Por lo tanto, dado $\epsilon>0$ existe $N$ tal que $\int_{[-N,N]}fd\mu>\int_{\mathbb{R}} fd\mu-\epsilon$.

Answer 2

Pruebas alternativas utilizando la definición de la integral de Lebesgue, que es el supremum entre la integral de todas las funciones simples $\varphi$ satisfacción $\varphi\le f$. Para todos los $\epsilon>0$, existe una función simple $$ \psi=\sum_{i=1}^m \alpha_{S_i}1_{S_i}, $$ (aquí el $1_{S_i}$ denotar la función indicativa en $S_i$) tal que $\sum_{i=1}^m\mu(S_i)<\infty$$\psi\le f$, la satisfacción de $$ \int_X fd\mu\le\int_X\psi d\mu+\epsilon $$ Deje $E=\cup_{i=1}^m S$, $\mu(E)<\infty$ y $$ \int_X\psi d\mu\le\int_Efd\mu. $$