Demostrar : Si $I = (p(x))$ es un alojamiento ideal en $F[x]$ $p(x)$ es irreductible.

Question

Tengo que mostrar :

Si $I = (p(x))$ es un alojamiento ideal en $F[x]$, donde F es un campo, entonces $p(x)$ es irreductible.

En el libro que yo uso, no es la prueba de lo contrario que utiliza Euclides del Lexema.

He intentado supongamos $I=(p(x))$ es un ideal, entonces cada polinomio en I es divisible por $p(x)$. A continuación, para $a(x)b(x) \in F[x]$ tenemos $a(x)b(x)=p(x)q(x)$$q(x) \in F[x]$$\delta a<\delta p$$\delta b<\delta p$.

A partir de ahí, no veo cómo deducir $p(x)$ es irreductible, es decir, no hay factorización de más de F $p(x)=c(x)d(x) \in F[x]$ $\delta c < \delta p$ $\delta d < \delta p$

Podríamos expresar $p(x)$ en función de $a(x),b(x)$ $g(x)$ pero no ayuda.

Cualquier sugerencias ? :) Gracias

Answer 1

Supongamos $p(x)=c(x)d(x)$, es decir, $p(x)$ es reducible. Desde $c(x)d(x)=p(x)\in(p(x))$, $c(x)\in(p(x))$ o $d(x)\in(p(x))$. Sin la pérdida de la antigua, por lo $p(x)|c(x)$, y también se $c(x)|p(x)$. Por lo tanto $c,p$ están asociados, por lo $d$ es una unidad, lo que contradice la reducibilidad de la asunción.

Answer 2

Otra forma podría ser observar los siguientes hechos:

1. $I$ es el primer fib $F[x]/I$ es un dominio.
2. Si $p(x)$ es reducible podría ser sólo un producto de dos coprime polinomios o el poder de una sola polinomios irreducibles.

A continuación, utilizando la CRT y algunos otros resultados acerca de cocientes, usted puede encontrar una contradicción buscando en las propiedades del anillo de $F[x]/I$.

Answer 3

Primero:

En integral de los dominios de los números primos son irreductibles.

Prueba. deje $D$ ser integral y de dominio y $p\in D$ un primer elemento. Supongamos que $$p=ab,$$ for some $a,b\in D$. Certainly, $p\mid ab$, so since $p$ is prime $p\mediados de los a$ or $p\mediados de b$. Without lost of generality, assume $p \mediados de los a$. Then $a=pc$, for some $c\D$. Así \begin{align*} p&= pcb\\ 1&= cb,\end{align*} El último paso para ser justificados porque en parte integral de los dominios de la cancelación es válido. Por lo tanto, $b$ es una unidad y $a$ es asociado a $p$. hemos demostrado que la única manera posible de divisores de a $p$ son unidades o asociados a $p$, esto nos dice que $p$ es irreductible.

---

De regreso a su problema, $F$ es un campo para $F[x]$ es una integral de dominio, por lo que es suficiente para demostrar que $p(x)$ es primo.

Para ello, supongamos $p(x)\mid f(x)g(x)$. Esto significa que $f(x)g(x)\in I$ y desde $I$ es un alojamiento ideal, este dice que $f(x)\in I$ o $g(x)\in I$. En otras palabras: $p(x)\mid f(x)$ o $p(x)\mid g(x)$. Por lo tanto, $p(x)$ es primo.