Los números primos de la forma $a^2+b^2$ : un punto de vista técnico.

Question

Se puede clasificar el primer enteros $p$ que puede ser escrito como $p=a^2+b^2$ para algunos enteros $a,b\in\mathbb{Z}$ mediante el estudio de cómo $p$ se descompone en el anillo de los enteros de Gauss $\mathbb{Z}[i]$.

La mayoría de las pruebas a las que me han visto, en algún punto, la razón de la siguiente manera:

$p$ es una suma de dos cuadrados iff $p$ no es irreducible en a $\mathbb{Z}[i]$ fib $-1$ es un cuadrado en $\mathbb{Z}/(p)^*$.

Para probar esto, algunos feo de la cadena de isomorphisms $\mathbb{Z}[i]/(p)\simeq \ldots \simeq (\mathbb{Z}/(p))[X]/(X^2+1)$ está escrito, y entonces uno llega a la conclusión de que $X^2+1$ tiene una raíz en $\mathbb{Z}/(p)$ si $p$ no es irreducible en a $\mathbb{Z}[i]$.

Mi pregunta es esta: me parece que esta cadena de isomorphisms tipo de feo y desagradable. Es allí una manera más directa, de manera conceptual a ver que $p$ no es irreducible en a $\mathbb{Z}[i]$ fib $-1$ es un cuadrado en $\mathbb{Z}/(p)^*$?

Answer 1

Una primera muestra de que Gauss irreducibles $\pi$ tienen la propiedad básica de ordinario los números primos, que si $\pi$ divide $\alpha\beta$ $\pi$ divide $\alpha$ o $\beta$.

En un número-curso teórico, generalmente esto se hace mostrando que el de Gauss enteros es un dominio Euclídeo, por lo que los números primos son (sin unidad) irreducibles.

Supongamos ahora que $c^2+1\equiv 0\pmod{p}$ donde $p$ es una corriente principal. A continuación, $p$ divide $(c-i)(c+i)$. Pero $p$ distingue claramente ninguno de los términos en el producto, por lo que no puede ser una Gaussiana prime, y por lo tanto no puede ser irreductible.

Answer 2

Supongamos $p = a^2 + b^2 \in \mathbb Z$ $a^2 \equiv -b^2 \pmod p$ tan sólo invertir $b$ encontrar un modular de la raíz cuadrada de uno negativo $(b^{-1} a)^2 \equiv -1 \pmod p$.

De la otra manera, si existe un entero $u$ satisfacción $u^2 \equiv -1 \pmod p$ $$\Lambda = \{(a,b) \in \mathbb Z^2 | b \equiv u a \pmod p\}$$ is a lattice (specifically take the diagonal $D = \{(a,ua)\in \mathbb Z^2|a\in \mathbb Z\}$ then $\Lambda = D + (0,p\mathbb Z)$ all the translates by $p$ up and down - so $\Lambda$ has basis vectors $\{(0,p),(1,u)\}$) with determinant $d(\Lambda) = 1\cdot p - u \cdot 0 = p$ so by Minkowski's theorem any centrally symmetric convex body of volume $\ge 4p$ will contain a nontrivial lattice point, for example a circle with radius $r = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sqrt{p}$. Hence we have $(a,b) \in \Lambda$ (so $b \equiv u a \pmod p$) with $a^2+b^2 \le \frac{4}{\pi} p < 2p$ but by squaring the congruence we know $p|a^2+b^2$ so in fact $a^2+b^2 = p$!

Answer 3

No es todo esto más relacionados con la única factorización en $\mathbb Z[i]$?

Nos ceñiremos a los impares, números primos, $p$.

Si $p|x^2+1$, entonces hay un $a+bi=\gcd(p,x+i)$. Necesariamente, $a,b\neq 0$, ya que el $a+bi|x+i$. También, $a,b$ son relativamente primos, y no tanto extraño (o de lo $a+bi$ sería divisible por $1+i$, lo que significaría $p^2$ era divisible por $2$.)

Por lo $a+bi|p$$a-bi|p$, y se puede mostrar que el $a+bi$ $a-bi$ son relativamente primos. Así que por única factorización, $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2|p$. Pero que claramente significa que $a^2+b^2=p$.

Por otro lado, de $-1$ no es un cuadrado, $\pmod p$, entonces cualquier prime $a+bi|p$ tiene necesariamente th propiedad que $a^2+b^2|p^2$. Así que si $a,b\not\equiv 0\pmod p$, $(a/b)^2+1\equiv \pmod p$ o $(b/a)^2+1\equiv 0 \pmod p$

Answer 4

El feo de la cadena de isomorphisms es una derivación conceptual.

Como de costumbre, que ayuda a convertir los problemas interesantes en algebraica de problemas, por lo que se puede resolver con el álgebra. En este caso, sin embargo, usted no está haciendo álgebra con anillo de elementos: estás haciendo álgebra con anillos.

Si tocan una raíz cuadrada de $-1$ (obteniendo así $\mathbb{Z}[i]$), a continuación, mod por $p$, las propiedades de la resultante de anillo dirá si el ideal $(p)$ es primo o no.

Si usted mod por $p$ (obteniendo así $\mathbb{Z}/p$) y, a continuación, se acuestan una raíz cuadrada de $-1$, las propiedades de la resultante de anillo dirá si $\mathbb{Z}/p$ tiene una raíz cuadrada de $-1$ o no.

La cadena de isomorphisms que mencionas son sólo describir el hecho de que los dos pasos

• Tocan una raíz cuadrada de $-1$
• Mod por $p$

se puede hacer en cualquier orden: se obtiene la 'misma' anillo de cualquier manera.

Si uno no estaba seguro de que el hecho de que usted consiga el 'mismo' resultado de cualquier manera, uno puede hacer un 'aritmética' cálculo con cualquier nivel de detalle que te gusta. Eso es lo que el largo de la cadena de isomorphisms es: un cálculo aritmético con los anillos, hecho en suficiente detalle extremo, de modo que usted puede ver cada paso claramente.

Una vez que estás acostumbrado a la media aritmética de los anillos, estos cálculos serán más naturales. por ejemplo, yo normalmente no piensa en $\mathbb{Z}[i]$ $\mathbb{Z}[X]/(X^2+1)$ como ser diferente, y habría caído de $\mathbb{Z}[i] / p$ $\mathbb{F}_p[X] / (X^2 + 1)$en un solo paso sin darle un segundo pensamiento. (y sabría de inmediato que es dado por $i \to X$ o $i \to -X$)

Answer 5

Sugerencia $ $ Imitar: $\rm\:mod\, 8\!:\, \pm\,1,3\ roots\ of\ x^2\!-\!1\Rightarrow\Bbb Z/8\ nondomain\:\Rightarrow\:8\ nonprime\:\Rightarrow\:8\ composite.$

En su caso: $\rm\,\ mod\ p\!: \pm\,{\it i},n\ roots\ of\ x^2\!+\!1\:\Rightarrow \Bbb Z[{\it i}\,]/p\ nondomain\Rightarrow\! p\ nonprime\Rightarrow\! p\ composite.$