El uso de una integral definida, encontrar el valor de $\lim_{n\rightarrow \infty }(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n})$

Answer 1

$$\text{As }\lim_{n \to \infty} \frac1n\sum_{r=1}^n f\left(\frac rn\right)=\int_0^1f(x)dx$$

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{r=1}^n\dfrac1{n+r}=\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum_{r=1}^n\dfrac1{1+\dfrac rn}$$

Por eso, $f\left(\dfrac rn\right)=\dfrac1{1+\dfrac rn}, f(x)=?$

Ver también : El límite de una suma $\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}$

Answer 2

Sugerencia: $$\frac{n}{n + i} = \frac{1}{1 + i/n}$$

Ahora aplicar la definición de la integral-integral.

Answer 3

Sugerencia: $$\sum_{i = n}^{2 \, n} \frac{1}{i} \le \int_{n-1}^{2\,n} \frac1x \, \mathrm{d}x$$ (solo mira el gráfico de $1/x$).

Del mismo modo, se obtiene un límite inferior.

Answer 4

Hay una mejor manera: la reescritura de la suma como $H_{2n} - H_{n-1} \sim \log 2n - \log (n-1) = \log 2 + \log \frac{n}{n-1} \to_n \log 2$

Answer 5

Al parecer, puedo continuar con esta tarea de multiplicar tanto el numerador y el denominador por $\frac{1}{n}$. Que me da el siguiente: $$ \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=0}^{n}{\frac{n\frac{1}{n}}{(n+i)\frac{1}{n}}\frac{1}{n}} = \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{1+\frac{i}{n}}\frac{1}{n} $$

Aquí se puede tomar el punto de muestreo es$\frac{i}{n}$, lo que conduce a una ecuación de suma de Riemann para la función siguiente $f(x)=\dfrac{1}{1+x}$ en el rango de $I=[0,1]$.

Así, el límite en el es igual a: $$\int_0^1{\dfrac{1}{1+x} \mathrm dx}= \ln 2$$