El uso de Valuative Criterio Propio

Question

¿Cómo puedo utilizar la valuative criterio propio:

"Vamos a $f: X \rightarrow Y$ ser una de morfismos de finito tipo de noetherian esquemas. A continuación, $f$ es correcta si y sólo si para todos los discreta valoración de los anillos de $R$ con campos de fracciones $K$ cualquier $K$valores de punto de $x \in X(K)$ que se asigna a un punto de $f(x)$ que se define sobre $R$, no hay un único ascensor de $x$$\overline{x} \in X(R)$"

para demostrar que si $A$ es un Noetherian anillo, entonces la estructura de morfismos $\mathbb{P}^n_A\rightarrow \mathrm{Spec}\, A$ es adecuada?

Answer 1

En el valuative criterio, usted necesita un morfismos $\mathrm{Spec}(R)\to Y$. En el afín $Y$ de los casos, esto significa $R$ debe ser un $A$-álgebra.

Escribir $\mathbb P^n_A=\mathrm{Proj}A[T_0, \dots, T_n]$. Un punto racional $x\in \mathbb P^n_A(K)$ puede ser representado por coordenadas homogéneas $(t_0, t_1, \dots, t_n)$ $t_i\in K$ y al menos uno de ellos es distinta de cero. Multiplicándola por un adecuado elemento de $R$, la cual no cambia el punto de $x$, se puede suponer que todos los $t_i\in R$ y al menos uno de ellos, decir $t_0$, pertenece a $R^*$ (unidades de $R$).

Considerar los morfismos $\bar{x} : \mathrm{Spec}(R)\to D_+(T_0)\subset \mathbb P^n_A$ definido por $$ O(D_+(T_0)) = A\left[\frac{T_1}{T_0}, \dots, \frac{T_n}{T_0}\right]\to R, \quad \frac{T_i}{T_0}\mapsto \frac{t_i}{t_0}.$$ Entonces es fácil ver que $\bar{x}$ extends $x$.

La singularidad de la extensión viene del hecho de que la proyectiva espacio está separado. También se puede consultar directamente como sobre el uso de coordenadas (si $\bar{x}'$ es otra extensión, supongamos por ejemplo que se asigna el punto cerrado hasta cierto punto de $D_+(T_0)$, a continuación muestran que la $t_i/t_0\in R$$\bar{x}'=\bar{x}$.)

Answer 2

Hartshorne es prueba de esto al final de la II.4; se muestra que un proyectiva de morfismos es adecuado que es el caso que usted tiene. En realidad reduce la prueba a mostrar que la $\mathbb{P}^n_A\to\mbox{Spec}(A)$ es adecuado.