Elementos de la circunferencia

Question

En el libro que estoy leyendo, uno de los ejercicios se inicia con mencionar que |(z-z1)/(z-z2)|=c, donde c es una constante no es igual a 1 es una ecuación del círculo.

A mí me parece claro que |z-z1|=c es una ecuación de un círculo en un plano complejo, pero no puedo entender por qué la fórmula anterior también sería una ecuación del círculo. Ayuda con la comprensión sería apreciada.

Answer 1

Una aproximación de fuerza bruta : Escribir $z = x+iy, z_1 = x_1+iy_1, z_2 = x_2+iy_2$, y simplificar la fórmula $$ |z-z_1|^2 = c^2|z-z_2|^2 $$ Usted va a terminar con una ecuación de la forma $$ (1-c^2)x^2 + (1-c^2)y^2 + 2\alpha x + 2\beta y +\gamma = 0 $$ para algunas constantes $\alpha, \beta, \gamma$. Desde $c\neq 1$, se puede dividir por $(1-c^2)$ (tenga en cuenta que $c$ es un número real y $\neq -1$, por lo que se inició con). Esto le dará la ecuación de un círculo.

Answer 2

Es el mismo de la $|z-z_1|^2=c^2|z-z_2|^2$.
Escribir $z=x+iy$, $z_1=x_1+iy_1$ y así sucesivamente.
Expanda el cuadrado de los valores absolutos, y simplificar.