¿Cómo puede el $\mathop{\lim}\limits_{x \to \infty}({x+x\space\sin^2 x})$ existir si $\mathop{\lim}\limits_{x \to \infty}(x\space\sin^2 x)$ no?

Question

En el texto que estoy usando (Spivak del Cálculo, 4E), se establece (problema 5.39(iii)) que $$\mathop{\lim}\limits_{x \to \infty}\left({x\space\sin^{2} x}\right)$$ "does not exist". It is also established (5.39(c)) that [A] if $\mathop{\lim}\limits_{x \to \infty}f(x)$ exists, but $\mathop{\lim}\limits_{x \to \infty}g(x)$ does not, then $\mathop{\lim}\limits_{x \to \infty}\left[f(x)+g(x))\right]$ no puede existir.

Pero el texto también establece (5.39(ii)) que $$\mathop{\lim}\limits_{x \to \infty}\left({x+x\space\sin^{2}x}\right)=\infty.$$

lo que parece ser una contradicción de la recién establecida la propiedad de límites, con $f(x)=x$$g(x)=x\space\sin^{2} x$.

Hay algo importante está sucediendo aquí con respecto a los límites que la "igualdad" infinity?

Answer 1

Esto no contradice lo establecido propiedad de límites. Si usted mira de cerca, aquellos que se establece sólo cuando los límites de existir! Esto ofrece un resquicio para este caso.

Como para este límite, se remonta a lo que queremos decir cuando escribimos $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty$. En particular, esto significa que para cualquier gran $M$ I elija, usted puede encontrar algunos grandes suficientemente $a$ tal que $f(x) > M$ todos los $x > a$.

Para $x\sin^2(x)$, hay infinitamente muchos valores positivos para $x$ que hacen de $x\sin^2(x)$ cero. En particular, existe alguna $M$ ($M = 0$ obras), tal que para todos los $a$, existe alguna $b > a$$b\sin^2(b) = 0$. Convencerse de que esto es la negación de la definición anterior, por lo que hemos genuinamente demostrado que $\lim_{x \rightarrow \infty} x\sin^2(x) \neq \infty$. Utilizando un argumento similar, apuesto a que usted puede mostrar que $\lim_{x \rightarrow \infty} x\sin^2(x)$ no es igual a cualquier otra cosa. Estás justo encima cuando se dice "nunca se fija en un valor único". Sin embargo, es incorrecta cuando digo que es "a veces $\infty$"; esto no tiene ningún sentido decir.

No debería ser difícil para usar la definición para mostrar $\lim_{x \rightarrow \infty}(x + x\sin^2x) = \infty$. En particular, elegir algunos arbitraria $M$ y encontrar algo de valor en $a$ (dependerá $M$!) tal que $x + x\sin^2x > M$ todos los $x > a$.