¿Cuándo $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^p}$ absolutamente convergen?

Question

Deje $p>0$. Debo encontrar los valores de $p$ para que la siguiente serie converge: $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^p}$$ I have already successfully proven the following estimate by induction: $$\sin 1+ \cdots+ \sin n=\frac{\sin\left(\frac{n+1}{2}\right)\sin\left(\frac{n}{2}\right)}{\sin\left(\frac12\right)}$$ But this means that the sequence $\pecado 1 +\cdots + \sin n$ is bounded for all $n$. Then, the original series converges if $(a_n)_{n=1}^\infty=\frac{1}{n^p}$ is a decreasing sequence of positive numbers such that $\lim_{n\to\infty}=0$. Then, $(a_n)_{n=1}^\infty$ converges for all $p>0$, ya que este es el único escenario que cumple con ambas condiciones.

He utilizado el siguiente teorema:

Deje $\sum_{n=1}^\infty b_na_n$ ser una secuencia infinita de tal forma que:

1. La secuencia de $B_n=b_1+\cdots+b_n$ está acotada.
2. $(a_n)_{n=1}^\infty$ es una disminución de la secuencia de números positivos tal que $\lim_{n\to\infty}a_n=0$

A continuación, $\sum_{n=1}^\infty b_na_n$ es convergente.

Ahora, cuando se $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^p}$ convergen absolutamente? Entonces tendríamos que encontrar los valores de $p$ para que el siguiente converge: $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lvert \sin n\rvert}{n^p}$$ Would I still be able to use my original estimate for $\el pecado$ n? Si es así, la respuesta sería la misma que la anterior, pero no estoy seguro de cómo determinar esto.

Edit: Mientras que la representación gráfica de las variaciones de esto, es que parece que la serie converge para todos los $p>1$. Es allí una manera formal puedo demostrar que esto es cierto?

Answer 1

Como se encontró, de Dirichlet de la prueba se ocupa de la convergencia, lo $p$.

Respecto a la convergencia absoluta, la prueba de comparación implica $\sum_{n\geq1}\frac{\sin n}{n^p}$ es absolutamente convergente siempre $p>1$.

Relativa, $p=1$, la serie diverge completamente (vea esto como para demostrar que $ \sum_{n \in \mathbb{N} } | \frac{\sin( n)}{n} | $ diverge?)

Esto resuelve el resto del problema: si $p<1$, $\left|\frac{\sin(n)}{n^p}\right|\geq | \frac{\sin( n)}{n} |$ y la prueba de comparación de los rendimientos de la divergencia.