Cómo mostrar la distribución de $T$ es una constante

Question

Deje $T$ ser una distribución en $\mathbb{R}$. $\tau_a\phi(x)=\phi(x-a)$ y $\langle T,\tau_a\phi\rangle=\langle T,\phi\rangle$ todos los $a\in \mathbb{R}$ y todas las funciones de prueba de $\phi$. Demostrar que $T$ es una constante.

No tengo idea de probar $\langle T,\phi\rangle=0,$ todos los $\phi$.

Answer 1

Como en mi comentario, el objetivo es mostrar que existe una constante $c$ tal que $\langle T, \phi \rangle = c \int_{-\infty}^\infty \phi(x)\,dx$ para todas las funciones de prueba de $\phi$.

Primero de todo, vamos a identificar la constante de $c$. Deje $\psi$ ser su favorito de la función de prueba de tener $\int_{-\infty}^\infty \phi(x)\,dx = 1$ y establezca $c := \langle T, \psi \rangle$.

Siguiente: para cualquier función de prueba de $\phi$, muestran que a medida $a \to 0$, $\frac{1}{a} (\phi - \tau_a \phi) \to \phi'$ en la topología usual de $C^\infty_c(\mathbb{R})$.

Ahora nuestra hipótesis implica que para cualquier $\psi$, $$\left\langle T , \frac{1}{a} (\phi - \tau_a \phi) \right\rangle = 0.$$ Since $T$ is a continuous linear functional, we can pass to the limit to conclude $\langle T, \phi' \rangle = 0$. That means that $T' = 0$ which intuitively should mean that $T$ es constante.

Para probar esto, deje $\phi$ ser cualquier función de prueba y establecer $f(x) = \phi(x) - \psi(x) \int_{-\infty}^\infty \phi(t)\,dt$, por lo que el $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = 0$. Por lo tanto, si partimos $g(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$, se puede comprobar que $g$ es lisa y compacta compatible, y por el teorema fundamental del cálculo, $g' = f$. Como tal, $$0 = \langle T, g' \rangle = \langle T, f \rangle = \langle T, \phi \rangle - c \int_{-\infty}^\infty \phi(x)\,dx$$ cual es la conclusión deseada.

(La clave en el último párrafo es que una de las pruebas de función $f$ es la derivada de otra función de prueba de iff tenemos $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = 0$.)