Funciones compuestas y uno a uno

Question

Tengo una pregunta,

Sea $f: A\rightarrow B$ y $g:B\rightarrow C$ demuestre que si $g\circ f$ es uno a uno entonces $f$ es una a uno. ¿Puede alguien ayudarme? No tengo ni idea de por dónde empezar y cómo terminarlo.

Gracias

Answer 1

Supongamos que $x,y\in A$ tal que $f(x)=f(y)$ . Entonces $g(f(x)) = g(f(y))$ . Pero esto es lo mismo que $(g\circ f)(x) = (g\circ f)(y)$ y $g\circ f$ siendo inyectiva $\implies x=y$ . Esto demuestra que $f$ es inyectiva.

Answer 2

Supongamos que $f$ no es uno a uno, entonces debe haber $x,y\in A,x \neq y$ tal que $f(x)=f(y)$ y por lo tanto $g(f(x))=g(f(y))$ pero esto significa $g\circ f$ no es uno a uno y esto es una contradicción. Así que $f$ debe ser uno a uno.