Demostrar que ${x^7-1 \over x-1}=y^5-1$ no tiene soluciones entero

Question

Quiero mostrar que la $${x^7-1 \over x-1}=y^5-1$$ puede tener cualquier número entero soluciones. La única observación que he hecho hasta ahora es que el lado izquierdo es el $7$th cyclotomic polinomio $$\Phi_7(x)= {x^7-1 \over x-1}=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+1$$

Si recuerdo correctamente cyclotomic polinomios son irreducibles. Ahora puedo utilizar esta propiedad para llegar a la conclusión o debo tratar de acercarse por la contradicción y asumen $\Phi_7(a)=b^5-1$ para algunos enteros $a$$b$? El único problema es que no veo donde me gustaría ver un fácil contradicción. Cualquier sugerencias?

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También veo que el lado derecho puede ser factorizado como $$(y-1)(y^4+y^3+y^2+y+1)=(y-1)\Phi_5(y)\implies \frac{\Phi_7(x)}{\Phi_5(y)}=y-1$$

que parece que podría dar el resultado si se demuestra que los dos cyclotomic polinomios no tienen factores comunes. Cómo podría hacerse esto?

Answer 1

Un inicio a la solución de esta ecuación es primero probar que si $x$ es un número entero y $p$ es un divisor primo de el lado izquierdo $\frac{x^{7}-1}{x-1}$ entonces $p=7$ o $p \equiv 1(\mod{7})$.

Prueba: Primer aviso por Fermat poco teorema que $x^{p-1}-1$ es divisible por $p$. También por nuestra hipótesis de $x^{7}-1$ es divisible por $p$. Ahora supongamos que $7$ no divide $p-1$. A continuación,$\gcd(p-1,7) =1$, de modo que existe enteros $a$ $b$ tal que $7a + (p-1)b = 1$. Posteriormente, ver $$ x \equiv x^{7a+(p-1)b} \equiv (x^{7})^{a} \cdot (x^{p-1})^{b} \equiv 1 (\mod p)$$ y entonces $$\frac{x^{7}-1}{x-1}= 1 + x + \text{ ... } + x^{6} \equiv 7 (\mod p)$$ Así que tenemos que $p$ divide $7$, por lo $p=7$ deben mantener si tenemos que $p \equiv 1(\mod 7)$ no, como hemos dicho. $\square$

Ahora hemos demostrado que cada divisor positivo de $\frac{x^{7}-1}{x-1}$ cumple con cualquiera de las $d \equiv 1(\mod 7)$ o $d \equiv 0$.

Ahora asumiendo $(x,y)$ es un número entero solución a nuestro problema, nos damos cuenta de que $y-1>0$ desde $\frac{x^{7}-1}{x-1} > 1 \ \forall \ x \neq 1$. Entonces a partir de la $y-1$ divide $\frac{x^{7}-1}{x-1} = y^{5}-1$ tenemos $y \equiv 1(\mod 7)$ o $y \equiv 2(\mod 7)$. La evaluación de $1+y+y^{2}+y^{3}+y^{4}$ en ambos casos posibles que se contradicen el hecho de que nuestra positivo divisor $1+y+y^{2}+y^{3}+y^{4}$ $\frac{x^{7}-1}{x-1}$ es congruente a $0$ o $1 (\mod 7)$. El resultado entonces de la siguiente manera.