Es $(x^2)^x$ diferenciable en a $0$?

Question

Tener el grado de mitad de período en donde una de las preguntas de verdadero/falso se reduce a si es o no $f(x)=(x^2)^x$ es diferenciable en 0. No estoy seguro de la respuesta.

Por un lado, la continuidad de $f(x)$ es autor-dependiente, ya que depende de lo $0^0$ es llevado a ser. Supongamos $0^0$ se define como 1, por lo que el $f(x)$ es continua en a $0$.

Para todos $x\not=0$, $f'(x)=(\ln(x^2)+2)(x^2)^x$. Por lo tanto, $\lim_{x\to 0}f'(x)=-\infty$. Puede que de alguna manera nos deducir que $f'(0)$ es inexistente a partir de este, por ejemplo, algún tipo de resultado de la forma "siempre que f es diferenciable, es continuamente diferenciable"?

Answer 1

El enfoque más directo se puede hacer. Vamos a suponer que hemos eliminado la discontinuidad en el $x=0$ dejando $f(0)=1$. A continuación, cerca de $x=0$, $x \log|x| = o(1)$ y por lo tanto

$$ (x^2)^x = \exp(2x\log|x|) = 1 + 2x\log|x| + O(x^2 \log^2 |x|).$$

Así tenemos

$$ \frac{(x^2)^x - 1}{x} = 2\log |x| + O(x \log^2 |x|) = 2\log|x| + o(1).$$

Esto implica que $f$ aún es no-diferenciable en a$x=0$, incluso después de la continuación.

Answer 2

"...algún tipo de resultado de la forma "dondequiera $f$ es diferenciable, es continuamente diferenciable"?"

TEOREMA Suponga que $f$ es continua en a $x=a$ y $f'$ se define para cada $x$ en un barrio de $a$, excepto posiblemente en a $x=a$. Supongamos que $\lim\limits_{x\to a}f'(x)$ existe. A continuación, $f'(a)$ existe y $f'(a)=\lim\limits_{x\to a}f'(x)$.

Aquí, "existe" estrictamente significa que el límite es un número real.

Answer 3

Utilizamos el hecho de que $\lim_{h\to0} \exp(h \ln(h^2)) = 1$ a continuación, que usted puede mostrar por mostrar a $\lim_{h \to 0^+} h \ln(h) = 0$.

$$\begin{align*} \lim_{h\to0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} &= \lim_{h\to0^+} \frac{(h^{2})^h - 1}{h} \\&= \lim_{h\to0^+} \frac{\exp(h \ln(h^2)) - 1}{h} \\&= \lim_{h\to0^+} \frac{\exp(h \ln(h^2)) \cdot \bigl[ \ln(h^2) + h \cdot\tfrac{1}{h^2}\cdot 2h\bigr] - 0}{1} \tag{L'Hospital} \\&= \lim_{h\to0^+} \exp(h \ln(h^2)) \cdot \bigl[ 2 \ln|h| + 2\bigr] \;\longrightarrow\; -\infty \\[2em] \lim_{h\to0^-} \frac{f(h) - f(0)}{h} &= \lim_{h\to0^-} \frac{(h^{2})^h - 1}{h} \\&= \lim_{h\to0^-} \frac{\exp(h \ln(h^2)) - 1}{h} \\&= \lim_{h\to0^+} \frac{\exp(-h \ln(h^2)) - 1}{-h} \\&= \lim_{h\to0^+} \frac{\exp(-h \ln(h^2)) \cdot \bigl[ -\ln(h^2) - h \cdot\tfrac{1}{h^2}\cdot 2h\bigr] - 0}{-1} \tag{L'Hospital} \\&= \lim_{h\to0^+} \exp(-h \ln(h^2)) \cdot \bigl[ 2 \ln|h| + 2\bigr] \;\longrightarrow\; -\infty \end{align*}$$

Nos encontramos con que tanto el límite de abajo y los de arriba no existen, a pesar de que son consistentes (la curva es continua sin una cúspide, tener una infinita pendiente negativa en cero).