Simultánea diagonalizability de desplazamiento unitario operadores

Question

Estoy tratando de probar lo siguiente:

Si $S\colon V\to V$ $T\colon V\to V$ son unitarias transformaciones lineales en el espacio unitario $V$ ($\dim V=n$, $n$ es finito), de tal manera que $ST=TS$, entonces se tiene una articulación autovector (aka hay una base de $V$ compuesta de vectores propios de ambos $S$ $T$ - no necesariamente de la misma autovalor por cada uno).

Alguien me puede ayudar? He intentado reformular la 'matriz' equivalentes del teorema, pero no me llega mucho más allá.

Gracias!

Answer 1

Basado en lo que ya hemos visto en clase, hay un ortonormales con respecto a la que $S$ ha matriz

$$A= \begin{pmatrix} \lambda_1 I_{k_1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 I_{k_2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_m I_{k_m} \end{pmatrix},$$

donde $k_i$ es la dimensión del subespacio propio para el autovalor $\lambda_i$$S$. Si $B$ es la matriz de $T$ con respecto a esta base, entonces, por $AB=BA$

$$B= \begin{pmatrix} B_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & B_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & B_{m} \end{pmatrix},$$

donde $B_i$ $k_i$a$k_i$ de la matriz (por ejemplo, ver aquí). Desde cada una de las $B_i$ es unitaria, cada uno puede ser unitarily diagonalized. Tenga en cuenta que si lo hace deja a $A$ sin cambios.

Answer 2

Jonas respuesta fue excelente y me ha ayudado mucho, pero hoy he pensado en una dirección diferente y sería agradable si usted becarios podrían ayudarme a saber si funciona:

Deje $V_1, V_2, ..., V_k$ ser los subespacios propios correspondientes a valores propios $\lambda_1,\lambda_2,...\lambda_k$ de S. Puesto que S es T-invariante, sabemos que $T(V_i)\subseteq V_i$, lo que significa que la reducción de T para el autoespacio $V_i$, $T_i:V_i\to V_i$, también es un unitario de transformación. Posteriormente, $T_i$ tiene un ortonormales autovector base en $V_i$. Porque S es unitaria, las bases encontradas para la $T_i$s contienen vectores ortonormales el uno al otro, y así su unión sería un ortonormales autovector base de T, el cual, debido a que S es unitaria, también sería un autovector base de S.

Es esto una prueba válida de aspecto? Gracias!