Prueba de la convergencia de una secuencia recursiva

Question

¿Cómo puedo demostrar que

$x_{n+2}=\frac{1}{2} \cdot (x_n + x_{n+1})$

$x_1=1$

$x_2=2$

¿es convergente?

Answer 1

Sugerencia: ¿cómo $x_{n+2} - x_{n+1}$ se relacionan con $x_{n+1} - x_n$ ?

Answer 2

Dada:

$$x_{n+2} = \frac{1}{2}(x_n + x_{n+1}) $$

De ello se deduce que si

$$ x_n \le x_{n+1} $$

$$ x_n \le x_{n+2} \le x_{n+1} $$

O si:

$$ x_n \ge x_{n+1} $$

Entonces:

$$ x_n \ge x_{n+2} \ge x_{n+1} $$

Observamos que la igualdad sólo se produce si

$$ x_n = x_{n+1}$$

Por lo tanto, considere la diferencia

$$ |x_{n+1} - x_n| = r $$

De ello se desprende que

$$ |x_{n+2} - x_{n+1}| = \frac{r}{2}$$

(Verifique esto para el caso de $x_{n+2} > x_{n+1}$ contra. $x_{n+2} < x_{n+1}$ )

Así,

$$ |x_{n+k} - x_{n+k-1}| = \frac{r}{2^{k-1}} $$

(Verificar esto por inducción)

Por lo tanto, a medida que k se acerca al infinito

$$ |x_{n+k} - x_{n+k-1}| \rightarrow 0 $$

Answer 3

Dejemos que $$y_n \equiv x_n - \frac{x_0-x_1}{2}$$ Entonces es fácil ver que $$y_0 = \frac{x_0-x_1}{2} \\ y_1 = \frac{x_1-x_0}{2} = - y_0 $$ y con un poco de álgebra, la relación $x_{n+2}= \frac{1}{2}(x_n+x_{n+1}$ se convierte en $$y_{n+2}= \frac{1}{2}(y_n+y_{n+1})$$

Pero porque $y_1 = -y_0$ el comportamiento de $y_n$ es fácil de ver: $$ y_0 = y_0\\y_1 = -y_0 y_2 = 0 \\ y_3 = -\frac{1}{2} y_0 \\ y_4 = -\frac{1}{4} y_0 \\ y_5 = -\frac{3}{8} y_0 \\ y_6 = -\frac{5}{16} y_0 \\ y_7 = -\frac{11}{32} y_0 \\ $$ y en general, es fácil demostrar por inducción que para $n > 3$ $$y_n = -\left( \frac{2}{3} + \frac{(-1)^{n-1} }{3\cdot 2^{n-2}} \right) y_0 $$ el límite de $y_n$ es siempre $\frac{2}{3}$ Entonces $x_n$ se obtiene sumando la media de $x_0$ y $x_1$ por lo que también tiene un límite finito.

Answer 4

Como señala @RobertIsrael,

$$x_{n+2}-x_{n+1}=-\frac12(x_{n+1}-x_n).$$

Las diferencias de primer orden disminuyen geométricamente para que su suma converja.

Answer 5

Se puede resolver la ecuación característica que satisface la relación de recurrencia de segundo orden, es decir, la ecuación $$t^2=\frac{1}{2}(t+1) \iff 2t^2-t-1=0$$ que tiene soluciones $$t_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1-2(4)(-1)}}{4}=\frac{1\pm3}{4}=\begin{cases}1\\-\dfrac{1}{2}\end{cases}$$ Thus $$x_n=A\cdot1^n+B\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^n$$ where $A,B$ can be determined by the initial values. In the case that $x_0=1, x_1=2$ (note that you have to start at $n=0$ for this to work, and not at $n=1$) you have that $$\begin{cases}1=A+B\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^0\\2=A+B\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^1\end{cases} \implies \begin{cases}1=A+B\\4=2A-B\end{cases} \implies \begin{cases}A=\frac{5}{3}\\B=-\frac{2}{3}\end{cases}$$ Así, $$x_n=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n \to \frac{5}{3}$$ como $n \to +\infty$ .