Un papel de 1997 de Étienne Fouvry y Henryk Iwaniec, primos de Gauss, se refiere a la prevalencia de los números primos que son de la forma $n^2+p^2$ primer $p$. El resultado es asintótica
$$\sum_{n^2+p^2\le x}\Lambda(p)\Lambda(n^2+p^2)=kx+O(x(\log x)^{-A})$$
con $A>0$ arbitrarias y $$k=2\prod_{p>2}\left(1-\frac{\chi(p)}{(p-1)(p-\chi(p))}\right)\approx2.1564103447695$$ donde $\chi(n)=(-1)^{(p-1)/2}$ es la trivial carácter mod 4. El big-O constante es uniforme, dependiendo únicamente de la elección de $A$.
Me gustaría usar esto para encontrar una fórmula asintótica para $f(x):=|\mathcal{P}\cap\{n^2+p^2\le x\}|$. Parece
$$f(x)=2k\frac{x}{(\log x)^2}(1+o(1))$$
pero no estoy muy seguro de mis derivación, ni siquiera de cómo interpretar el resultado original (duplicados representaciones doble-contar o no?). Alguien puede confirmar o negar mi cálculo?
Pregunta extra: se Fouvry & Iwaniec el primer para mostrar que hay infinitamente muchos de estos números primos? Citan Rieger, Coleman, Duque, y Pomykala como resultados relacionados pero ninguno tuvo tanto el primer restricciones.
