demostrar sin inducción que $\sum_{k=1}^n k^p=?$ ?

Question

Quiero encontrar la suma de $\sum_{k=1}^n k^p$ para $p\in \mathbb{Q}$ .

¿Existe un método algebraico para resolver esto?

Si además puedes sugerir buenas referencias para esta pregunta, me vale.

Answer 1

$$p\in \mathbb{Q}\\n\to \infty\\(1^p+2^p+3^p+...+n^p)=\\\frac{n^{p+1}}{n^{p+1}}(1^p+2^p+3^p+...+n^p)=n^{p+1}(\frac{1^p+2^p+3^p+...+n^p}{n^{p+1}})=\\ n^{p+1}(\frac{1}{n}((\frac{1}{n})^p+(\frac{2}{n})^p+(\frac{3}{n})^p+...+(\frac{n}{n})^p))=\\ n^{p+1}\Sigma_{i=1}^{n}\frac{1}{n}(\frac{i}{n})^p\approx n^{p+1}\int_{0}^{1}x^pdx=n^{p+1}\frac{1}{p+1}\\\to 1^p+2^p+...+n^p \approx \frac{n^{p+1}}{P+1}$$

Answer 2

Una forma es comparar con la integral correspondiente: $\int_{1}^{n} x^p dx$ .

Answer 3

El resultado se conoce como el polinomio de Bernoulli (véase https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials ).

Si $B_{p+1}$ es un polinomio de grado $p$ y , $\sum_{k=0}^n k^p= {B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(0)\over p+1}$