Averiguar si $\hat{\tau}$ es un estimador imparcial

Question

Me dio un pdf:

$$f(x)=\tau x \exp\left(\frac{-\tau x^2}{2}\right)$$ $x,\tau >0$ Encontré $$E(X)=\sqrt{\frac{\pi}{2\tau}}$$ Y he usado el método de los momentos del método para encontrar: $$\hat{\tau}=\frac{\pi}{2\bar{x}^2}$$ Ahora, de lo que he encontrado es que un estimador es imparcial si $E(\hat{\tau})=\tau$, pero yo tengo: $$E(\hat{\tau})=E\left(\frac{\pi}{2\bar{x}^2}\right)=\frac{\pi}{2}E\left(\frac{1}{\bar{x}^2}\right)$$ and I have no idea how to calculate $E\left(\frac{1}{\bar{x}^2}\right)$

Answer 1

Por la desigualdad de Jensen con función convexa $\varphi(x)=\dfrac{1}{x^2}$ $x>0$, $E\left[\varphi\left(\bar{x}\right)\right]\geq \varphi\left(E\left[\bar{x}\right]\right)$. Por lo tanto $$ E(\hat{\tau})=\frac{\pi}{2}E\left(\frac{1}{\bar{x}^2}\right) \geq \frac{\pi}{2}\frac{1}{\left(E\left[\bar{x}\right]\right)^2}=\frac{\pi}{2}\frac{1}{\left(E\left[X\right]\right)^2}=\tau$$

Tenga en cuenta que la desigualdad es estricta ya que la función $\varphi$ es no lineal y la distribución de $\bar{x}$ es no degenerada. Así, el estimador no es imparcial: $E[\hat\tau]>\tau$.