Gracias a esta "solución" siempre hay alguien sin habitación, ¿o no?
¿Quién?
La persona de la primera habitación tiene ahora la habitación 2. La persona de la habitación 1284 tiene ahora la habitación 1285. De hecho, no hay nadie en el hotel que no tenga una habitación: es cierto, en cierto sentido, que "infinito + 1 = infinito" (y creo que Hurkyl lo explicó muy bien a través de los ordinales).
Si eso no le convence, piénselo de esta manera: ¿qué pasaría si usted (nuestro hipotético propietario de un hotel) construyera una nueva habitación (llamada 0) para alojar a un nuevo huésped, pero luego - unos días más tarde - decidiera que una habitación llamada 0 es una tontería, y entonces simplemente renumerara todas las habitaciones, renumerando la 0 como 1, la 1 como 2, y así sucesivamente? ¿Qué ha cambiado? Nada: la estructura (numérica) del hotel es la misma, todo el mundo tiene una habitación y el nuevo huésped ha sido alojado.
Así que es una forma fácil de conseguir un invitado más, siempre y cuando estés dispuesto a incomodar ligeramente a infinidad de personas para hacerlo. Y si podemos hacer entrar a un invitado más, podemos hacer entrar a todos los que queramos: si aparece un autobús con 50 personas, basta con que todo el mundo se traslade a (su propia habitación + 50), o lo que es lo mismo, añadir 50 habitaciones más a la parte delantera. No hay problema.
Pero si aparece un autobús con un número infinito de personas, no se puede cambiar a todo el mundo a (su propia habitación + $\infty$ ) - como te darás cuenta rápidamente, cuando el no-matemático de la habitación 17 que se queja de que no pudo averiguar a qué habitación moverse (¡incluso cuando usó su calculadora!). Sumar el infinito a un número no tiene sentido. Todas las habitaciones de su hotel han recibido un nombre bonito, sólido y honesto, finito números de habitación - el "(17+) $\infty$ )th" habitación (sea lo que sea que eso signifique) no existe. (Hay infinitamente muchos números finitos, pero no hay que confundir esto con "números infinitos (sea cual sea el significado de estas cosas).
¿Qué puede hacer? Recuerda que hay es una estipulación de que no se pueden insertar habitaciones en el Finalizar (porque hay es sin fin - ¿verdad?), pero ya hemos visto que se pueden insertar habitaciones en el Inicio (porque hay un principio, la sala 1). De hecho, podemos insertar salas en cualquier lugar que queramos, siempre que ese lugar sea fácil de señalar: por ejemplo, se puede decir a todos los que están en las salas 6, 7, 8, ... que se trasladen a las salas 7, 8, 9, ... y dejar un hueco en la sala 6. (Equivalentemente: insertar una sala $5\frac{1}{2}$ entre las habitaciones 5 y 6, y luego renumerar las habitaciones). Ahora bien, es evidente que no podemos poner un número infinito de habitaciones al principio, porque eso tiene el problema que he mencionado antes: todo el mundo tiene que acabar en una buena habitación (finita).
[Una pregunta que podría hacerse en este punto es: ¿por qué no puede ¿sólo tienes que añadir las habitaciones 0, -1, -2, -3, ... y meter a tus invitados en ellas? Bueno, puedes hacerlo, prácticamente Por supuesto. Pero entonces se hace bastante más difícil renumerar las habitaciones, para que se numeren 1, 2, 3, ... de nuevo. Recuerde que no estamos en realidad Se permite inventar nuevas habitaciones - Introduje esta idea como una herramienta para mostrar que mover infinitamente muchas personas a través de finitamente muchas habitaciones no iba a cambiar su hotel estructuralmente, o dejar a nadie sin una habitación, o algo así. No puedes hacer nada que cambie la estructura numérica de tu hotel].
Por lo tanto, podría decidir insertar una habitación desocupada entre cada dos habitaciones ocupadas. Es decir, puede decidir que quiere que las habitaciones 1, 3, 5, 7, 9, ... estén libres, y que las habitaciones 2, 4, 6, 8, 10, ... estén ocupadas. Ah, eso es fácil: dile a todo el mundo que se mueva al número de habitación que es el doble de la suya. Ahora el hombre de la habitación 17 es feliz de nuevo.
¿Y si aparecen dos autobuses infinitos? Bueno, podrías volver a hacer lo mismo, dos veces. Eso molestaría a muchos de tus invitados, pero probablemente no te importaría, entre otras cosas porque estarías ganando mucho dinero con esto. Lo mismo ocurre con tres o cuatro autobuses infinitos. ¿Pero qué pasa si aparecen infinitos autobuses, todos al mismo tiempo? No puedes pedir a tus huéspedes que se desplacen al doble de su número de habitación infinitas veces - el hombre de la habitación 17 vuelve a ser infeliz, porque no sabe en qué habitación acabará después de infinitos movimientos ("¿qué es $17\times 2^\infty$ ?", se queja). Estás tratando de alejarlo infinitamente, y esto no le gusta.
Pero no hay que alarmarse. Anuncia con calma que quieres que todos tus invitados se muevan al doble de su número de habitación (¡una sola vez!), y observa cómo se quedan mirando con asombro:
Permíteme etiquetar los autobuses a, b, c, d, ... (¡imaginemos que hay infinitas letras!), y permíteme etiquetar a sus pasajeros a1, a2, a3, ..., b1, b2, b3, ..., y así sucesivamente. Ahora sólo tienes que admitirlos en tus habitaciones vacías (1, 3, 5, 7, ...) en el siguiente orden:
a1,
b1, a2,
c1, b2, a3,
d1, c2, b3, a4,
...
¿Ves el patrón? ¿Ves por qué todo el mundo (aunque sea el millonésimo pasajero en el billonésimo autobús) va a tener un número de habitación finito?
