Valores múltiples funciones analíticas

Question

A pesar de que nuestra definición exige que todas las funciones analíticas para tener un solo valor, es posible considerar a tales valores múltiples funciones como $\sqrt{z}$, $\log z$, o $\arccos z$, a condición de que ellos están restringidos a una determinada región en la que es posible seleccionar un solo valor y la rama analítica de la función.

Por ejemplo, podemos optar por $\Omega$ el complemento de la real negativo del eje $z\le 0$; este conjunto es, de hecho, abierto y conectado. En $\Omega$ uno y sólo uno de los valores de $\sqrt{z}$ tiene una parte real positiva. Con esta opción $w=\sqrt{z}$ se convierte en un solo valor de la función en $\Omega$; vamos a demostrar que es continua.

($\Omega$ Es el conjunto abierto en el que $f$ está definido.)

Yo no entiendo muy bien qué significa todo esto. ¿Por qué el eje real negativo descrito por $z\le 0$ (¿no debería ser $x\le 0$?) No es siempre el caso de que un valor de $\sqrt{z}$ tiene una parte real positiva, ya que los dos valores son negativos de cada uno de los otros? Y por qué no $w=\sqrt{z}$ se convierten en un solo valor de la función, cuando restringimos el dominio, pero no el rango?

Answer 1

¿Por qué el eje real negativo descrito por $z\le 0$ (¿no debería ser $x\le 0$?)

Siempre que un número complejo aparece en una desigualdad, la desigualdad implícitamente dice que el número es real. Por lo tanto, $z\le 0$ es de hecho el eje real negativo. La desigualdad de $x\le 0$, por otro lado, podría ser entendido como describir la mitad izquierda del plano-(ya que no dice nada acerca de $y$).

No es siempre el caso de que un valor de $\sqrt{z}$ tiene una parte real positiva

Verdadero (si es "positivo" significa $\ge 0$). Pero después de la eliminación de la negativa semiaxes se puede decir lo mismo, pero con "positivo" ser $>0$. La diferencia es sustancial. Estricto de las desigualdades, son estables bajo pequeñas perturbaciones; por lo tanto, la elección de las raíces con parte real positiva nos da una función continua.

Y por qué no $w=\sqrt{z}$ se convierten en un solo valor de la función, cuando restringimos el dominio, pero no el rango?

El rango está determinado por el dominio. Cuando hablamos acerca de la restricción de alguna función, es el dominio que está siendo restringido.

Todavía hay dos valores de la raíz cuadrada para elegir, pero ahora es posible tomar la decisión de forma continua, (y, por consiguiente, en un holomorphic manera).