Cociente de las superficies de Riemann

Question

Deje $\mathbb{H}$ ser una mitad superior del plano (esto es una superficie de Riemann), a continuación, $PSL(2,\mathbb{Z})$ actúa en $\mathbb{H}$, y es bueno saber que $$ \mathbb{H}/PSL(2,\mathbb{Z})\cong \mathbb{C} $$ es de nuevo una superficie de Riemann. Sin embargo, hay tres puntos fijos en $\mathbb{H}$, es decir, $$ e^{\frac{2\pi i}{6}}, \ \ \ i, \ \ \ e^{\frac{2\pi i}{3}}. $$ Yo por lo tanto creo que la imagen de estos puntos deben ser considerados como orbifold punto de $\mathbb{H}/PSL(2,\mathbb{Z})$. Yo sé que hay un mapa de $z\mapsto z^n$ lo que da un nuevo parámetro local en cada punto de orbifold, pero es realmente natural? A mí me parece que este nuevo gráfico no es muy natural, ya que no es de conformación en el orbifold punto (se asigna un ángulo de $\theta$$n\theta$, ¿verdad?)

Más generalmente, si un grupo finito $G$ actúa sobre una superficie de Riemann $S$, podemos hacer una pregunta similar sobre el cociente $S/G$. Debe uno pensar de $S/G$ como una suave superficie de Riemann o un orbifold?

Answer 1

Sí, yo estaría de acuerdo con la conclusión de su observación. Los tradicionales locales de re-configuración de parámetros para evitar la discusión de orbifolds se hace posible por el hecho de que el grupo de isotropía de punto en una superficie de Riemann es un subgrupo de un círculo-grupo, por lo que un subgrupo discreto de que la isotropía grupo cíclico finito grupo, por lo tanto admitiendo que "desenrollado" por la $z\rightarrow z^n$ mapas de la pregunta menciona. En las dimensiones superiores, ortogonal grupos $SO(n)$ ( $n>2$ ) no abelian finito subgrupos, por lo que este dodge no es fiable disponible.