Un cubo de lado uno contiene dos cubos de lados $a$ y $b$ que tienen interiores no superpuestos. Cómo demostrar la desigualdad $a+b \le 1?$ La misma pregunta en dimensiones superiores.
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Daniel Robert-Nicoud
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Aquí hay una prueba del hecho (mucho más débil) de que $a+b\leq\sqrt{n}$ . Tal vez alguien pueda encontrar una forma de elaborarlo para obtener una solución del problema.
Dejemos que $n$ sea la dimensión que estamos considerando. Sea $C_n\subset\mathbb{R}^n$ sea el cubo de lado $1$ . Dejemos que $a$ sea el lado del primer cubo (lo llamaremos $A$ ), $b$ el lado del segundo cubo ( $B$ ). Por los teoremas clásicos de la separación convexa, existe una $(n-1)$ -avión $P_{n-1}$ separando los dos cubos (ya que son disjuntos). Trasladando todo si es necesario, supongamos que $0$ está contenida en $P_{n-1}$ . Dejemos que $L$ denotan la línea que pasa por $0$ que es ortogonal a $P_{n-1}$ y denotar por $\pi:\mathbb{R}^n\rightarrow L\cong\mathbb{R}$ sea la proyección sobre $L$ . Es fácil demostrar que la proyección de un cubo de lado $x$ en una línea es un intervalo de longitud máxima $x\sqrt{n}$ . Dejemos que $\ell$ sea la función que asocia a un intervalo en $\mathbb{R}$ su longitud. Entonces: $$\ell(\pi(C_n))=:z\leq\sqrt{n}$$ $$\ell(\pi(A))=:x\geq a$$ $$\ell(\pi(B))=:y\geq b$$ Así: $$a+b\leq x+y\leq z\leq \sqrt{n}$$ donde la segunda desigualdad viene dada por el hecho de que $P_{n-1}$ separa $A$ y $B$ .
Una posible elaboración de lo anterior sería tratar planos de mayor dimensión en lugar de la $1$ -plano (= línea recta) $L$ . Por ejemplo, podríamos obtener un $(n-1)$ -avión $Q$ tomando algún vector $v\in P_{n-1}$ y definiendo $Q$ para ser su complemento ortogonal. Entonces las proyecciones de $A$ y $B$ en $Q$ serían disjuntos, ya que el $(n-2)$ -avión $P_{n-1}\cap Q$ los separaría en $Q$ . Tal vez algún trabajo en este sentido podría darnos mejores estimaciones o alguna forma de demostrar la afirmación inicial por inducción.
Louis
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La siguiente prueba dice básicamente lo siguiente (1) se puede suponer que los cubos están en esquinas opuestas, y (2) se puede suponer que están alineados con el cubo unitario, en cuyo caso el teorema se deduce fácilmente.
Hecho preliminar: Si tenemos una disposición de dos n-cubos, A y B, en $\mathbb{R}^n$ y, a continuación, para cada dirección de base estándar, $\vec{e}_i$ podemos traducir A en el $+\vec{e}_i$ o el $-\vec{e}_i$ dirección para siempre sin intersecar a B (esto se ve por la convexidad de los cubos). Si A puede moverse en una dirección para siempre, entonces B puede moverse en la dirección opuesta para siempre.
Por este hecho, si A y B están dentro del cubo unitario, podemos pasar por cada dirección y deslizar cada uno de ellos en direcciones opuestas para que terminen en esquinas antípodas del cubo unitario. WLOG deja que A esté en la esquina $(0,\ldots,0)$ y B estar en la esquina $(1,\ldots,1)$ . Por lo tanto, A no puede deslizarse en las direcciones de los vectores base negativos sin salir de la caja, y B no puede deslizarse en ninguna de las direcciones de los vectores base positivos.
Este deslizamiento no cambia el tamaño de A o B, por lo que podemos suponer que $a+b$ es la mayor suma posible de longitudes laterales ( $a$ es la longitud del lado de A y $b$ es la longitud del lado de B).
Ahora, el lema técnico principal.
Lema: Toma $x_C = \sup \{y | \{y,y,\ldots,y\}\in C\}$ donde $C$ es algún cubo dentro del cubo unitario que interseca la diagonal principal. Entonces $x_C \geq c$ , donde $c$ es la longitud del lado de $C$ .
Lo que esto dice es que si tomamos el punto $\{x_C,\ldots,x_C\}$ en la intersección de $C$ y la diagonal principal más alejada del origen, entonces el cubo $[0,x_C]^n$ tiene una longitud lateral mayor que $C$ . Usamos esto para demostrar que A y B deben estar alineados con el cubo unitario si quieren tener la mayor longitud lateral.
Esbozo de la prueba del lema: Haremos un esbozo de la prueba ya que es un cálculo feo, que se puede hacer si se está interesado. Así que podemos reducir el problema a decir que si una transformación unitaria afín T lleva el cubo unitario al primer cuadrante, $[0,\infty)^n$ y no se puede deslizar más en las direcciones de la base negativa sin salir del primer cuadrante, entonces $x_{T([0,1]^n)} \geq 1$ . Podemos deshacernos de la parte afín mirando sólo la transformación unitaria de $[-1/2,1/2]^n$ y definiendo $x_{T[-1/2,1/2]}$ por ejemplo $(\min(T_1[-1/2,1/2],\ldots,\min(T_n[-1/2,1/2])$ en lugar del origen. Parametrizando las transformaciones unitarias, podemos plantear esto como un problema de optimización, que tienes que resolver para n general.
Así que todo el cálculo está codificado en ese lema. El resto es bastante sencillo. Tenemos A y B en partes opuestas del cubo unitario, y son la mayor suma posible de longitudes laterales totales. Ahora bien, si A no está alineado con el cubo unidad, podemos sustituirlo por un cubo al menos igual de grande que esté alineado por el lema. Es fácil ver que este nuevo cubo no interseca a B. Así que supongamos que A está alineado. Ahora, podemos utilizar el mismo argumento para sustituir B por un cubo alineado también (excepto que el lema se utiliza con respecto al punto antipodal del origen esta vez). Así tenemos dos cubos alineados con longitud lateral total al máximo. A partir de aquí no es tan malo ver que la suma de las longitudes laterales debe ser como máximo 1.
