Un Paso que Involucren el Teorema del Binomio: ¿Puede Explicar el por Qué de su Validez?

Question

Me han dado un paso en una evaluación de una integral, pero no puedo trabajar de lo que el teorema se ha utilizado:

Ver:

$=\int_d^e\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^na^n\left((b+c)\cos x-\sqrt{b^2-(b+c)^2\sin^2x}\right)^{2n}}{n!}dx$

$=\int_d^e\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{m=0}^n\dfrac{(-1)^nC_{2m}^{2n}a^n(b+c)^{2n-2m}\cos^{2n-2m}x\left(\sqrt{b^2-(b+c)^2\sin^2x}\right)^{2m}}{n!}dx-\int_d^e\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{m=1}^n\dfrac{(-1)^nC_{2m-1}^{2n}a^n(b+c)^{2n-2m+1}\cos^{2n-2m+1}x\left(\sqrt{b^2-(b+c)^2\sin^2x}\right)^{2m-1}}{n!}dx$

Sin duda el teorema del binomio ha sido utilizado, pero ¿por qué son los dos términos válido?

Debe haber un truco pero no puedo trabajar...

-Alex

Answer 1

Acaban de separarse par o impar de términos. Observe el siguiente:

$$(x-y)^{2n}=\sum_{m=0}^{2n}(-1)^{m}\binom{2n}{m}x^{2n-m}y^m=\\\underbrace{\sum_{m=0}^n\binom{2n}{2m}x^{2n-2m}y^{2m}}_{\text{even terms}}-\underbrace{\sum_{m=1}^n\binom{2n}{2m-1}x^{2n-2m+1}y^{2m-1}}_{\text{odd terms}}$$