Deje G ser un grupo con un no normal p-subgrupo de sylow P. Hay alguna información sobre el número de p-elementos(un elemento con p-potencia) de G?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Usted puede encontrar algunas propiedades generales, pero nada preciso realmente a menos que se disponga de más información.
Deje G ser un grupo finito. Denotar por ap(G) el número de p-elementos de G.
Frobenius teorema establece que cuando se n divide el orden de G, el número de soluciones a xn=1 G es un múltiplo de a n. Tenga en cuenta que ap(G) es el número de soluciones a xpα=1 donde pα es el mayor poder de p dividiendo |G|. Por lo tanto Frobenius teorema implica que ap(G) es un múltiplo de a pα, decir ap(G)=pαr.
Ahora el número de elementos de orden k G es un múltiplo de a φ(k) donde φ es el de Euler totient función. Por lo tanto para cualquier 1≤l≤α, se deduce que el p−1 divide el número de elementos de orden plG. Por lo tanto p−1 divide ap(G)−1. En particular, p−1 divide r−1, y por lo tanto
ap(G)=pα(t(p−1)+1)
para algunos entero t≥0.
Deje np(G) el número de Sylow p-subgrupos de G, lo n_p(G) \equiv 1 \mod{p} del teorema de Sylow. Es posible deducir algunas pequeñas cosas acerca de a_p(G) si conocemos n_p(G), ver a esta pregunta (SE) y este (MO). Por ejemplo, G. A. Miller demostró que
- Si n_p(G) = 1,a_p(G) = p^\alpha.
- Si n_p(G) = p+1,a_p(G) = p^{\alpha+1}.
- Si n_p(G) > p+1,a_p(G) \geq p^\alpha(2p - 1).