Cuántas $p$-elementos no $G$?

Question

Deje $G$ ser un grupo con un no normal $p$-subgrupo de sylow $P$. Hay alguna información sobre el número de $p$-elementos(un elemento con $p$-potencia) de $G$?

Answer 1

Usted puede encontrar algunas propiedades generales, pero nada preciso realmente a menos que se disponga de más información.

Deje $G$ ser un grupo finito. Denotar por $a_p(G)$ el número de $p$-elementos de $G$.

Frobenius teorema establece que cuando se $n$ divide el orden de $G$, el número de soluciones a $x^n = 1$ $G$ es un múltiplo de a $n$. Tenga en cuenta que $a_p(G)$ es el número de soluciones a $x^{p^\alpha} = 1$ donde $p^\alpha$ es el mayor poder de $p$ dividiendo $|G|$. Por lo tanto Frobenius teorema implica que $a_p(G)$ es un múltiplo de a $p^\alpha$, decir $a_p(G) = p^\alpha r$.

Ahora el número de elementos de orden $k$ $G$ es un múltiplo de a $\varphi(k)$ donde $\varphi$ es el de Euler totient función. Por lo tanto para cualquier $1 \leq l \leq \alpha$, se deduce que el $p-1$ divide el número de elementos de orden $p^l$$G$. Por lo tanto $p-1$ divide $a_p(G) - 1$. En particular, $p-1$ divide $r-1$, y por lo tanto

$$a_p(G) = p^{\alpha}(t(p-1) + 1)$$

para algunos entero $t \geq 0$.

Deje $n_p(G)$ el número de Sylow $p$-subgrupos de $G$, lo $n_p(G) \equiv 1 \mod{p}$ del teorema de Sylow. Es posible deducir algunas pequeñas cosas acerca de $a_p(G)$ si conocemos $n_p(G)$, ver a esta pregunta (SE) y este (MO). Por ejemplo, G. A. Miller demostró que

• Si $n_p(G) = 1$,$a_p(G) = p^\alpha$.
• Si $n_p(G) = p+1$,$a_p(G) = p^{\alpha+1}$.
• Si $n_p(G) > p+1$,$a_p(G) \geq p^\alpha(2p - 1)$.