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Cuántas p-elementos no G?

Deje G ser un grupo con un no normal p-subgrupo de sylow P. Hay alguna información sobre el número de p-elementos(un elemento con p-potencia) de G?

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Usted puede encontrar algunas propiedades generales, pero nada preciso realmente a menos que se disponga de más información.

Deje G ser un grupo finito. Denotar por ap(G) el número de p-elementos de G.

Frobenius teorema establece que cuando se n divide el orden de G, el número de soluciones a xn=1 G es un múltiplo de a n. Tenga en cuenta que ap(G) es el número de soluciones a xpα=1 donde pα es el mayor poder de p dividiendo |G|. Por lo tanto Frobenius teorema implica que ap(G) es un múltiplo de a pα, decir ap(G)=pαr.

Ahora el número de elementos de orden k G es un múltiplo de a φ(k) donde φ es el de Euler totient función. Por lo tanto para cualquier 1lα, se deduce que el p1 divide el número de elementos de orden plG. Por lo tanto p1 divide ap(G)1. En particular, p1 divide r1, y por lo tanto

ap(G)=pα(t(p1)+1)

para algunos entero t0.

Deje np(G) el número de Sylow p-subgrupos de G, lo n_p(G) \equiv 1 \mod{p} del teorema de Sylow. Es posible deducir algunas pequeñas cosas acerca de a_p(G) si conocemos n_p(G), ver a esta pregunta (SE) y este (MO). Por ejemplo, G. A. Miller demostró que

  • Si n_p(G) = 1,a_p(G) = p^\alpha.
  • Si n_p(G) = p+1,a_p(G) = p^{\alpha+1}.
  • Si n_p(G) > p+1,a_p(G) \geq p^\alpha(2p - 1).

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