Alguien llama a este "orden" que me desconcierta, porque no puedo entender su nombre. Me preguntaba si estos anillos de obedecer a la cancelación de la ley, es decir, si $\mathfrak a\mathfrak b=\mathfrak a\mathfrak c$ $\mathfrak b=\mathfrak c$ $\mathfrak a,\mathfrak b,\mathfrak c$ ideales y $\mathfrak a\neq 0$.
Respuestas
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No necesariamente. Esta falla, por ejemplo, en $R = \mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$, como se puede leer en $\S 3$ de estas notas.
Cancelación de cero ideales llevará a cabo en un dominio de Dedekind. Por el contrario, si $R$ es un Noetherian anillo tal que para todos los máximos ideales de la $\mathfrak{m}$ y todos distintos de cero ideales $\mathfrak{a}$ y $\mathfrak{b}$, $\mathfrak{m} \mathfrak{a} = \mathfrak{m} \mathfrak{b} \implies \mathfrak{a} = \mathfrak{b}$, a continuación, $R$ es Dedekind: ver esta 1971 papel de Johnson y Lediaev.
David HAust
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Como Pete ha mencionado, no son primarias contraejemplos. Generalmente un ideal $\rm\:I\:$ se llama cancelación ideal si $\rm\ I\:J = I\:K\ \Rightarrow\ J = K\ $ para todos los ideales de a $\rm\:J,K\:.\:$ poseen una muy simple locales caracterización: cancelables son los ideales localmente cancelables principal ideales, a saber. una sencilla prueba de rendimientos
TEOREMA $\ $ ideal $\rm\:I\:$ de un anillo de $\rm\:R\:$ es una cancelación ideal iff $\rm\:I\:$ es regular localmente principal, es decir, para todos los máximos ideales de la $\rm\:M\:$ $\rm\:R\:,\:$ tenemos $\rm\:I_M = (i)\:$ para un no-cero-divisor $\rm\:i\in R_M\:.$
Los dominios donde cada valor distinto de cero finitely generado ideal es cancelables son conocidos como Prüfer dominios. Ellos no son Noetherian generalizaciones de los dominios de Dedekind. Su ubicuidad se deriva de una notable confluencia de interesante caracterizaciones. Por ejemplo, ellos son los dominios de satisfacer el Teorema del Resto Chino por los ideales, o de Gauss Lema para el polinomio de contenidos ideales, o por ideales: $\rm\ A\cap (B + C) = A\cap B + A\cap C\:,\ $ o $\rm\ (A + B)\ (A \cap B) = A\ B\:,\ $ o $\rm\ A\supset B\ \Rightarrow\ A\:|\:B\ $ para fin. gen. $\rm\:A\:$ etc. Se estima que existen cerca de 100 de las caracterizaciones de los conocidos, por ejemplo, ver a mi sci.matemáticas post para 30 extraño caracterizaciones. A continuación un extracto:
TEOREMA $\ \ $ Deje $\rm\:D\:$ ser un dominio. Los siguientes son equivalentes:
(1) $\rm\:D\:$ es un Prufer de dominio, es decir, cada valor distinto de cero de f.g. (finitely generado) ideal es invertible.
(2) Cada valor distinto de cero dos-generado ideal de $\rm\:D\:$ es invertible.
(3) $\rm\:D_P\:$ es un Pruefer de dominio para cada primer ideal $\rm\:P\:$ $\rm\:D.\:$
(4) $\rm\:D_P\:$ es una valoración de dominio para cada primer ideal $\rm\:P\:$ $\rm\:D.\:$
(5) $\rm\:D_P\:$ es una valoración de dominio para cada ideal maximal $\rm\:P\:$ $\rm\:D.\:$
(6) cualquier valor distinto de cero de f.g. ideal $\rm\:I\:$ $\rm\:D\:$ es cancelable, es decir, $\rm\:I\:J = I\:K\ \Rightarrow\ J = K\:$
(7) $\: $ (6) restringido a f.g. $\rm\:J,K.$
(8) $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado y hay un $\rm\:n > 1\:$ tal que para todos los $\rm\: a,b \in D,\ (a,b)^n = (a^n,b^n).$
(9) $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado y hay un $\rm\: n > 1\:$ tal que para todos los $\rm\:a,b \in D,\ a^{n-1} b \ \in\ (a^n, b^n).$
(10) Cada ideal $\rm\:I\:$ $\rm\:D\:$ es completa, es decir $\rm\:I = \cap\ I\: V_j\:$ $\rm\:V_j\:$ pase por encima de todos la valoración overrings de $\rm\:D.\:$
(11) todos f.g. ideal de $\rm\:D\:$ es un punto de intersección de la valoración de los ideales.
(12) Si $\rm\:I,J,K\:$ son cero ideales de $\rm\:D,\:$ $\rm\:I \cap (J + K) = I\cap J + I\cap K.$
(13) Si $\rm\:I,J,K\:$ son cero ideales de $\rm\:D,\:$ $\rm\:I\ (J \cap K) = I\:J\cap I\:K.$
(14) Si $\rm\:I,J\:$ son cero ideales de $\rm\:D,\:$ $\rm\:(I + J)\ (I \cap J) = I\:J.\ $ ($\rm LCM\times GCD$ de la ley)
(15) Si $\rm\:I,J,K\:$ son cero ideales de $\rm\:D,\:$ $\rm\:K\:$ f.g. a continuación, $\rm\:(I + J):K = I:K + J:K.$
(16) Para cualquier par de elementos de a $\rm\:a,b \in D,\ (a:b) + (b:a) = D.$
(17) Si $\rm\:I,J,K\:$ son cero ideales de $\rm\:D\:$ $\rm\:I,J\:$ f.g. a continuación, $\rm\:K:(I \cap J) = K:I + K:J.$
(18) $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado y cada overring de $\rm\:D\:$ es la intersección de las localizaciones de la $\rm\:D.\:$
(19) $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado y cada overring de $\rm\:D\:$ es la intersección de anillos cociente de $\rm\:D.\:$
(20) de Cada overring de $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado.
(21) Cada overring de $\rm\:D\:$ es plano sobre a $\rm\:D.\:$
(22) $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado y el primer ideales de overrings de son extensiones de primer ideales de $\rm\:D.$
(23) $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado y para cada uno de los prime ideal $\rm\:P\:$ $\rm\:D,\:$ y cada overring $\rm\:S\:$ $\rm\:D,\:$ hay un primer ideal de $\rm\:S\:$ se encuentra por encima del $\rm\:P.\:$
(24) Para polinomios $\rm\:f,g \in D[x],\ c(fg) = c(f)\: c(g)\:$ donde por un polinomio $\rm\:h \in D[x],\ c(h)\:$ denota el "contenido" ideal de $\rm\:D\:$ generado por los coeficientes de $\rm\:h.\:$ (de Gauss Lema)
(25) los Ideales en $\rm\:D\:$ están integralmente cerrado.
(26) Si $\rm\:I,J\:$ son ideales con $\rm\:I\:$ f.g. a continuación, $\rm\: I\supset J\ \Rightarrow\ I|J.$ (contiene $\:\Rightarrow\:$ divide)
(27) el Teorema del Resto Chino $\rm(CRT)$ es cierto en $\rm\:D\:,\:$ es decir un sistema de congruencias $\rm\:x\equiv x_j\ (mod\ I_j)\:$ es solucionable iff $\rm\:x_j\equiv x_k\ (mod\ I_j + I_k).$
