Por qué $\lim_{n\to\infty}\int_{0}^1f_n(x)dx=\int_{0}^1(\lim_{n\to\infty}f_n(x))dx$ ?

Question

Considera la siguiente igualdad:

$$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^1f_n(x)dx=\int_{0}^1(\lim_{n\to\infty}f_n(x))dx$$

donde $$f_n(x):=\frac{x^n}{1+x^n}\qquad x\in [0,1]$$

Dado que la secuencia $(f_n(x))_{n=1}^{\infty}$ no es uniformemente convergente, no se puede utilizar el teorema sobre la integración de secuencias de funciones uniformemente convergentes. Ésta es mi pregunta:

¿Cómo demostrar que la igualdad es cierta?

Creo que es equivalente demostrar que $$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^1\frac{1}{1+x^n}dx=1$$ Entonces las cosas se reducen a calcular $$\int_{0}^1\frac{1}{1+x^n}dx$$ para cada $n$ que es lo que no tengo ni idea de hacer.

Answer 1

$$\int_0^1 {\frac{{x^n }}{{1 + x^n }}dx} \le \int_0^1 {x^n dx} = \frac{1}{{n + 1}},$$ por lo que la integral del lado izquierdo converge a $0$ como $n \to \infty$ . Por otra parte, $\frac{{x^n }}{{1 + x^n }} \to 0$ puntualmente para $x \in [0,1)$ por lo que obviamente $$\int_0^1 {\bigg(\lim _{n \to \infty } \frac{{x^n }}{{1 + x^n }}\bigg)dx} = 0.$$ La clave aquí es que $\frac{{x^n }}{{1 + x^n }} \leq x^n$ , $x \in [0,1]$ .

Answer 2

Pista: A la derecha, tienes un límite puntual. Parece que puedes demostrar que la integral de este límite es cero. Entonces rompería la integral de la izquierda en un punto que depende de $n$ limitando la integral a cada lado por una función decreciente de $n$ que llega a 0.

Answer 3

Siempre que tengas una secuencia de funciones limitadas en valor absoluto por la misma constante en un intervalo finito, puedes intercambiar el límite y la integral. (Aquí están todas limitadas por encima por $1$ )

Se trata de un caso especial del Teorema de convergencia dominada.

También podrías enfocar tu problema de forma más directa. La función límite es $0$ en $(0,1)$ para que la integral del lado derecho sea cero. Ahora, sólo tenemos que demostrar que $$\lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^1 \frac{x^n}{1+x^n}dx=0.$$ Sea $\epsilon>0$ se dará. Consideremos entonces la descomposición de $[0,1]$ en los intervalos $[0,1-\frac{\epsilon}{2}]$ et $[1-\epsilon/2,1]$ . En el segundo intervalo, obtenemos un error de como máximo $\epsilon/2$ ya que todas nuestras funciones están limitadas por $1$ . Como la sucesión de funciones es uniformemente convergente en el primer intervalo, podemos hacer que la integral sobre ese intervalo sea menor que $\frac{\epsilon}{2}$ para un $n$ . Entonces, en conjunto, esto demostrará que la integral es menor que $\epsilon$ para un $n$ . Esto equivale a que el límite es igual a cero.

Espero que le sirva de ayuda,

Answer 4

Teorema de convergencia dominada por Lebesgue