Mostrando que $e^z$, $\sin(z)$, $\cos(z)$ esenciales de singularidades en $\infty$

Question

Problema: Demostrar que $e^z$, $\sin(z)$, $\cos(z)$ esenciales de singularidades en $\infty$.

Intento de $e^z$:

1. Tenemos que $e^z$ tiene una singularidad esencial en a $\infty$ fib $e^{1/z}$ tiene una singularidad esencial en a $0$ fib

   $$ 0 \ne \lim_{z \to 0} |z|^{\alpha} |e^{1/z}| \ne \infty $$

   para todos los valores de $\alpha \in \mathbb{R}$.

Mis intuiciones debe estar fuera de aquí, porque me parece como $|e^{1/z}|$ tiende a infinito mucho más rápida que la de $|z|^\alpha$ tiende a cero. Que es, a mí me parece que, efectivamente,

$$\lim_{z \to 0} |z|^{\alpha} |e^{1/z}| = \infty$$

que evidentemente no es el caso.

Answer 1

$$ e^z=e^{x+iy}\quad \Big( \text{donde }x,y\in\mathbb R \Big) = e^x (\cos y+i\pecado y). $$ Así que piensa acerca de lo que sucede en $y\to\infty$ $x$ fijo. No hay límite en el $\mathbb C\cup\{\infty\}$ es abordado.

Answer 2

Ya que tenemos que

$$ \lim_{z \a 0+} \left|e^{1/z}\right| = \infty $$

$$ \lim_{z \0} \left|e^{1/z}\right| = 0 $$

de ello se sigue que

$$ 0 \ne \lim_{z \to 0} |z|^{\alpha} |e^{1/z}| \ne \infty $$

de modo que $e^z$ tiene una singularidad esencial en a$\infty$, por definición.

Además, la definición de las dependencias de $\sin(z)$ $\cos(z)$ sobre la función exponencial significa que

$$\cos(z) = {e^{iz} + e^{-iz} \over 2}$$

$$\sin(z) = {e^{iz} - e^{-iz} \over 2i}$$

esenciales de singularidades en $\infty$ si y sólo si $\exp(z)$ tiene una singularidad esencial en a $\infty$. Por lo tanto, $\cos(z)$ $\sin(z)$ esenciales de singularidades en$\infty$. Esto completa la prueba.

Answer 3

$f(z)$ tiene una singularidad esencial en a $\infty_{\mathbb C}$ fib $f(1/z)$ tiene una singularidad esencial en a $0$.

Ahora la serie de Taylor de $e^z$ (alrededor de $z=0$, pero se mantiene en todas las $\mathbb C$) es $$ e^z=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!} $$ Por lo tanto $$ e^{\frac1{z}}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac1{z^n n!} $$ que es el de la serie de Laurent de $e^{1/z}$$z=0$. Por lo $c_{-n}\neq0$ por (casi) todos los $n\in\mathbb N$, que es la definición esencial de la singularidad.

Proceder del mismo modo para$\sin$$\cos$.