Encontrar todos los números primos $p$ que $p\mid x^2-x-1$ algunos $x\in \mathbb Z$.

Question

Me gustaría caracterizar todos los números primos $p$ para que el polinomio $x^2-x-1$ tiene sus raíces en la $\mathbb Z_p$

Si esto no es posible, me gustaría encontrar una familia de primos de los que se ha raíces o una familia de números primos para los que no tienen raíces. (preferiblemente una familia de la cual hay una prueba rápida para determinar la pertinencia de la familia).

Answer 1

Deje $p$ ser impar. Luego de que su condición es equivalente a preguntar el impares primos $p$ que $4x^2-4x-4\equiv 0\pmod{p}$ tiene una solución, o, equivalentemente, para los impares primos $p$ que $(2x-1)^2-5\equiv 0\pmod{p}$ tiene una solución, o, equivalentemente, para los impares primos $p$ que $w^2\equiv 5\pmod{p}$ tiene una solución.

Tratar por separado con el primer $5$. Por extraño $p\ne 5$, estamos pidiendo la $p$ de manera tal que el símbolo de Legendre $(5/p)$ es igual a $1$.

Por la Reciprocidad Cuadrática, queremos que la extraño $p\ne 5$ tal que $(p/5)=1$. Estos son los impares, números primos de la forma $5k+1$ o $5k-1$.

Queda por tratar con $p=2$$p=5$.

Answer 2

Nunca es divisible por $2$.

Ahora completamos el cuadrado.

Al $p$ es impar, $$\begin{align}x^2-x-1&\equiv x^2-(p+1)x-1\pmod{p}\\ &=\left(x-\frac{p+1}{2}\right)^2 -\left(1+\left(\frac{p+1}{2}\right)^2\right)\end{align}$$

Así que necesitamos a $\frac{p^2+2p+5}{4}$ un cuadrado modulo $p$, lo que equivale a al $5$ es un cuadrado modulo $p$.