Probar que medida de $A$ $1$

Question

Que $A\subset (0,1)$ ser mensurables de Lebesgue y $\lambda>0$. Supongo que eso si $0\le a****

Está claro que $\lambda \le 1$ y $\mu(A)=1$ es equivalente a demostrar que $\mu(A^c)=0$.

Answer 1

por la construcción de la medida de lebesgue,

$\mu (A)=inf\{ \sum \mu(E_n): A \subset \cup E_n\ , E_n$ son distintos intervalos de $\}$

por lo tanto para cualquier $\epsilon >0$ hay distintos intervalos de $E_1 ... E_N$ tal que $\mu (A \Delta \cup^N_{n=1}E_n)< \epsilon$.

por otro lado, claramente $(\cup^N_{n=1}E_n)^c=\cup^M_{m=1}F_m$ donde $\{F_m\}^M_{m=1}$ son también distintos intervalos (cerrado o semi-cerrado/abierto). Por lo tanto, obtenemos:

$\epsilon>\mu (A \cap (\cup^M_{m=1}F_m)) \geq \lambda (1-\mu(\cup^N_{n=1}E_n)) >\lambda(1-\mu(A)+\epsilon)$, por lo que

$\epsilon /\lambda -\epsilon > 1-\mu(A)$ , para cualquier $\epsilon >0$, $\mu(A)=1$