Determinar el valor propio de una matriz real

Question

Creo que a esta pregunta para los dos días :

Deje $A$ $3\times3$ real de la matriz tal que $\det(A) = 1$$A^{-1}= A^T$. Demostrar que uno de los valores propios es igual a $1$.

He utilizado el hecho de que el determinante de a $A$ es el producto de sus valores y, a continuación, escribí muchas ecuaciones que yo no podía resolver la cuestión.

Answer 1

Deje $\lambda \in \mathbb C$ ser un valor propio con vector propio $0 \neq x \in \mathbb C^n$. Entonces $$(x,x) = (A^tAx,x) = (Ax,Ax) = \lvert\lambda \rvert^2 (x,x).$$ Thus $\lvert \lambda \rvert = 1$ for all eigenvalues. Since $$ is real, eigenvalues come in conjugate pairs, so either all three are real, or two are complex and one is real, but the two which are complex form a conjugate pair. Together with $\det a = 1$, do you see why this implies that one of the eigenvalues is $1$?