Cómo calcular el $\frac{0}{0}$ límite?

Question

Vamos $R=\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$, $P=\left[\begin{array}{ccc} \frac{13}{36} & \frac{-17}{36} & \frac{4}{36}\\ \frac{-17}{36} & \frac{25}{36} & \frac{-8}{36}\\ \frac{4}{36} & \frac{-8}{36} & \frac{4}{36} \end{array}\right]$ , $Q=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{9} & \frac{-1}{9}\\ 0 & \frac{-1}{9} & \frac{1}{9} \end{array}\right]$, $y(0)=\left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array}\right]$.

Definir $$r(k)=\frac{y^{T}(0)(R^{T})^{k-1}PR^{k-1}y(0)}{y^{T}(0)(R^{T})^{k-1}QR^{k-1}y(0)}$$

El problema que me gustaría ver es la forma de representar el valor de $\lim_{k\rightarrow\infty}r(k)$ con la propiedad de la matriz $P$ $Q$ (por ejemplo, autovalor).

Tenga en cuenta que tenemos $\lim_{k\rightarrow\infty}R^{k}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$, the row and column sum of $P$ and $Q$ are $0$ and actually $\lim_{k\rightarrow\infty}r(k)$ exists. Because $\lim_{k\rightarrow\infty} R^{k}y(0)= \left[\begin{array}{c} 5 \\ 5 \\ 5 \end{array}\right]$, thus both the numerator and denominator converge to $0$ which leads to a $\frac{0}{0}$ indefinite form. It is believed that the value of $\lim_{k\rightarrow\infty}r(k)$ is encoded in matrix pair $(P,Q)$, but I'm unable to come up with a formula or even the connection between $\lim_{k\rightarrow\infty}r(k)$ and $(P,Q)$podría alguien ayudarme en eso ?

Answer 1

En realidad, $r(k)=\frac{13}{16}$ todos los $k$. Así, el límite también es $\frac{13}{16}$.

Tenemos $R=VDV^{-1}$ donde $D=\mathrm{diag}(1,\frac56,0)$ y $$V = \pmatrix{1&3&1\\ 1&2&-1\\ 1&0&0}, \ V^{-1} = \pmatrix{0&0&1\\ \tfrac15&\tfrac15&\tfrac{-2}5\\ \tfrac25&\tfrac{-3}5&\tfrac15}.$$ Por lo tanto, para cualquier $3\times3$ matriz $A$, $$\begin{align*} &y^{T}(0)(R^{T})^{k-1}AR^{k-1}y(0)\\ =& y(0)^T(VD^kV^{-1})^TA(VD^kV^{-1})y(0)\\ =& (V^{-1}y(0))^T D^k(V^TAV)D^k (V^{-1}y(0)).\tag{1} \end{align*}$$ Ahora, sencilla los cálculos muestran que $$V^TPV = \frac1{36}\pmatrix{0&0&0\\ 0&13&6\\ 0&6&72}, \ V^TQV = \frac19\pmatrix{0&0&0\\ 0&4&-2\\ 0&-2&1}.$$ Por lo tanto $$D^k(V^TPV)D^k = \frac1{\color{red}{36}}\pmatrix{0&0&0\\ 0&\color{red}{13}\left(\tfrac56\right)^{2k}&0\\ 0&0&0}, \ D^k(V^TQV)D^k = \frac1{\color{red}{9}}\pmatrix{0&0&0\\ 0&\color{red}{4}\left(\tfrac56\right)^{2k}&0\\ 0&0&0}.\la etiqueta{2}$$ Desde la segunda entrada de $V^{-1}y=(5,\frac{-7}{5},\frac15)^T$ es distinto de cero, se sigue de $(1)$ $(2)$ que $$\frac{y^{T}(0)(R^{T})^kPR^{k-1}y(0)}{y^{T}(0)(R^{T})^kQR^{k-1}y(0)} =\frac{13/36}{4/9}=\frac{13}{16}=0.8125,$$ que es independiente de la $k$.