Una pregunta de probabilidad

Question

Supongamos $X_1, X_2, ...,$ son variables aleatorias IID con $P(X_n=1)=p$$P(X_n=2)=1-p$. Deje $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$.

Me estaba preguntando cómo encontrar $P(S_n \neq z, \forall n \in \mathbb{N})$ para un determinado número natural $z$?

Cómo sobre el caso al $P(X_n=1) = p_1, P(X_n=2)=p_2, P(X_n=3)=1-p_1-p_2$?

¿Este problema pertenecen a algún tipo de problemas de proceso aleatorio?

Gracias!

Answer 1

He aquí otro enfoque, que puede ser más sofisticado que el autor de la pregunta que quería, pero es un poco resbaladizo.

Deje $T = \inf\{n : S_n \ge z\}$. Nota: $S_T$ es $z$ o $z+1$, y si $S_T = z+1$ $z$ nunca se alcanza. Así que estamos buscando a $P(S_T = z+1)$. Llamar a este valor $q_z$ para el corto.

$T$ es un tiempo de paro, así que vamos a utilizar opcional de frenado en un aumento exponencial de martingala. Buscamos $\theta$ tal que $Y_n := \theta^{S_n}$ es una martingala; esto ocurrirá iff $E[\theta^{X_n}] = p \theta + (1-p) \theta^2 = 1$. Las soluciones de esta ecuación son $\theta = 1$ (no útil) y $\theta = -1/(1-p)$. Uno ve que ${Y_{n \wedge T}}$ es limitada, así que por el facultativo detener teorema tenemos $$ 1 = E[Y_0] = E[Y_T] = (1-q_z) \theta^z + q_z\theta^{z+1}.$$ Tomando $\theta = -1/(1-p)$ y resolviendo $q_z$ da el resultado.

Por cierto, yo "prestado" una variante de este problema para usar en un examen.

Answer 2

Esto es similar a un asimétrica de paseo aleatorio, pero la teoría general no ayuda en su caso.

Permite llamar a $A_z$ el caso de que el proceso de $S_n$ alcanza el valor de $z$ algunos $n$.

El complemento de evento $\bar{A_z}$ sólo puede suceder si $S_n$ alcanza el valor anterior ($z-1$) y, a continuación, salta por dos ($X$ toma el valor 2 para el siguiente intento).

Que es

$P(\bar{A_z}) = P(\bar{A_z} | A_{z-1}) P(A_{z-1}) $

Entonces, llamando a $a_z = P(\bar{a_z})$ (la probabilidad nos interesa ), y $q=1-p$ (probabilidad de que dos de tamaño de salto), llegamos a la recursividad

$a_z = q \; \left[ 1 - a_{z-1} \right] $

con la condición inicial $a(0) = 0$

La solución explícita es

$\displaystyle a(z) = q \frac{1 -(-q)^{z}}{1+q} $

AGREGADO: Si $X(n)$ puede tomar 3 valores en lugar de 2, con probs $p_1,p_2,p_3$ el razonamiento es similar. Hay 3 posibles casos y la recursividad es

$a_z = (p_2 + p_3) (1- a_{z-1}) + p_3 (1 - a_{z-2})$