Son las raíces de $\lambda^2-\lambda=0$ siempre la adición de la identidad y la multiplicación de identidad para cualquier campo?

Question

Son las raíces del polinomio $\lambda^2-\lambda=0$ siempre la adición de identidad $0$ y la multiplicación de identidades $1$ para cualquier campo $F$? Si no, cualquier persona puede ayudar a dar un contraejemplo?

Answer 1

Sí.

En un campo, tiene la distributative leyes: $$a(b+c) = ab+ac$$ Por lo tanto, podemos aplicar eso a su polinomio: $$\lambda^2-\lambda = \lambda(\lambda-1)$$ Ahora, para $\lambda(\lambda-1) = 0$, tenemos a uno de los dos productands debe ser cero (campos no tiene divisores de cero, por lo que no puede ser $a,b\neq 0$ tal que $ab = 0$).

Ahora, esto significa que cualquiera de $\lambda = 0$ o $\lambda-1 = 0$. En el primer caso se tiene que $\lambda = 0$, la identidad aditiva. En el segundo caso, podemos añadir un ot de ambos lados para obtener ese $\lambda -1+1 = 1$, a continuación, utilizar ese inversos cancelar para conseguir ese $\lambda = 1$.

Answer 2

$\lambda^2-\lambda=0$ es lo mismo que $\lambda(\lambda-1)=0$ donde $1$ es la identidad multiplicativa. Los campos no tienen cero divisores, por lo $\lambda =0$ o $\lambda-1=0$. Así que sí, las únicas soluciones son $\lambda=0$ o $\lambda=1$.