Demostrar que $A$ tiene medida de Lebesgue $0$.

Question

Supongamos $G$ está conectado a un conjunto abierto de $\mathbb{C}^n$. Probar que:

(1). Si $f \in$ PSH(G) y $f \not \equiv \infty$ $A=\{z \in G: f(z)=-\infty\}$ tiene medida de Lebesgue $0$.

(2). Si $f \in \mathcal{H}(G,F)=\{f: G \to F,~ \text{f is holomorphic function}\}$ $f \not \equiv 0$ (no heterogénea $0$), a continuación, $A=\{z \in G: f(z)=-\infty\}$ tiene medida de Lebesgue $0$.

Cualquier ayuda (o sugerencia u otra solución), sería muy apreciado. Gracias.

Answer 1

Para (2), seguramente significa "$f(z) = 0$", no "$f(z) = -\infty$".

(1) Esto es cierto incluso si damos por hecho que $f$ es subarmónicos. Una forma de ver esto es argumentar como este.

Teorema. Si $G$ está conectado y $u$ es subarmónicos en $G$, $u \in L^1_{loc}$ si $u \equiv -\infty$.

Prueba. Todos los subarmónicos función es localmente acotada arriba. Deje $W$ el conjunto de puntos de $x$ $G$ tal que $u$ es integrable en un barrio de $x$. A continuación, $W$ está abierto por definición, y $u > -\infty$.e. en $W$. Tome $x \in \bar W$ y elija $a \in W$ tal que $|a-x| < r = \frac12 \operatorname{dist}(x,\partial G)$$u(a) > -\infty$. Luego, por la media del valor de la propiedad para los subarmónicos funciones, $$ -\infty < u(a) \le \frac{1}{\operatorname{Vol}(B_r(a))} \int_{B_r(a)} u(y)\,dy $$ lo que muestra que $u$ es integrable en un neighboorhood de $x$, es decir, que $x \in W$. Por lo tanto $W$ es a la vez abierto y cerrado, por lo $W = G$ o $W = \emptyset$.

Como consecuencia, $u^{-1}(-\infty)$ es el conjunto de $G$ o tiene medida cero. (Conjuntos de $-\infty$-ajuste de [pluri]subarmónicos se llama a las funciones [pluri]polares, y son, en muchos aspectos incluso más pequeños que los de medida cero.)

(2) se Sigue directamente de (1), teniendo en $u = \log|f|$.