Mientras trabajaba en la composición de funciones consigo misma que he notado un comportamiento periódico para f(x).
$$f(x)=x^2-1$$ $$f(0)=-1$$
$$f(f(x))=f^2(x)=(x^2-1)^2-1=x^4-2x^2=x^2(x^2-2)$$
$$f^2(0)=0$$
$$f(f(f(x)))=f^3(x)=(x^2-1)^2((x^2-1)^2-2)=(x^2-1)^2(x^4-2x^2-1)$$
$$f^3(0)=-1$$
$$f(f(f(f(x))))=f^4(x)=x^4(x^2-2)^2[(x^2-1)^4-2(x^2-1)^2-1]$$
$$f^4(0)=0$$
Calculé que $f^5(0)=-1$
No pude avanzar más porque se volvió muy complejo.
Sugiero que
Si n es impar entonces $f^n(0)=-1$
Si n es par, entonces $f^n(0)=0$
¿Pueden ayudarme a demostrar o refutar la afirmación anterior?
Gracias
EDITAR:
He utilizado la inducción como Stefan mencionó en su respuesta como pista
He probado la afirmación
Prueba:
$$f^{n+2}(x)=f^{n}(f^{2}(x))$$
$$f^{n+2}(x)=f^{n}(x^2(x^2-2))$$
Tenemos para $x=0$
$$f^{n+2}(0)=f^{n}(0)$$
Sabemos que $$f(0)=-1$$
$$f^{3}(0)=f(0)=-1$$
$$f^{5}(0)=f^3(0)=-1$$
Por lo tanto Si n es impar entonces $f^n(0)=-1$
Sabemos que $$f^2(0)=0$$
$$f^{4}(0)=f^2(0)=0$$
$$f^{6}(0)=f^4(0)=0$$
Si n es par, entonces $f^n(0)=0$
Gracias a Stefan por la pista
