Pregunta elemental sobre la localización de ideales

Question

Intento mostrar lo siguiente:

Dejemos que $I,J$ sean ideales de un anillo conmutativo (con 1) $A$ tal que $I_{P}=J_{P}$ para todo ideal primo P de R. Aquí $I_{P}$ significa la localización de $I$ en $P$ . Entonces $I=J$ .

Bueno, estaba pensando en utilizar el siguiente resultado: dejemos $M$ ser un $A$ -módulo. Si $M_{P}=0$ para todo ideal primo entonces $M=0$ .

¿Pero no necesitamos algún tipo de suposición como $J \subset I$ ?

Porque si por ejemplo, digamos $J \subset I$ entonces $(I/J)_{P} \cong I_{P}/J_{P}$ así que $(I/J)_{P}$ es el módulo trivial para cada ideal primo $P$ así que $I/J=0$ por lo que $I=J$ .

¿Esto está mal? ¿Cómo proceder?

Answer 1

No ha habido actividad, así que déjame publicar esto como respuesta, entonces.

Ya sabes qué hacer si $J\subseteq I$ o si $I\subseteq J$ .

¿Qué tal si consideramos los ideales $I$ y $I\cap J$ ¿Entonces? Si puede demostrar que $(I\cap J)_P = I_P\cap J_P$ entonces su argumento pasará por $I$ y $I\cap J$ , mostrando $I=I\cap J$ . A continuación, puede repetir el argumento con $J$ y $I\cap J$ .

La localización es bastante buena. Conmutan con sumas finitas, intersecciones finitas y cocientes; y la localización es un functor exacto. Esto está en Atiyah-MacDonald, Prop. 3.3 y Corolario 3.4.