Demostrando que no lo compacto de un espacio

Question

Estoy tratando de demostrar que el espacio de $\mathbb R^p$, dotado de una métrica $d'(x,y) = \frac{d_2(x,y)}{1 + d_2(x,y)}$ donde $d_2(x,y)$ es la distancia Euclídea, es cerrado y acotado, pero no compacto.

No he tenido ningún problema con las dos primeras pruebas, pero no puedo seguir adelante con la prueba de no compacidad. Sólo sé que tengo que usar la de Bolzano-Weierstrass de propiedad sobre las subsecuencias y continuar por la contradicción, suponiendo que el espacio es compacto.

Answer 1

La topología inducida por $d'$ es el mismo que el estándar de la topología y usted probablemente sabe $\Bbb R^p$ no es compacto. O directamente: Como $d(0,x)$ pueden ser arbitrariamente cerca de $1$ pero nunca euqal, tenemos $\Bbb R^p=\bigcup_{0<r<1}B_{d'}(0;r)$ pero no finito subcover basta.

Answer 2

Otra respuesta el uso de secuencias.

La secuencia de $(a_n)$ $a_n=(n,0, \dots, 0)$ es limitada (por $1$), pero no tiene la convergencia de larga. Por lo tanto la aplicación de Bolzano–Weierstrass teorema, nuestro espacio métrico no es compacto.