¿La desigualdad de $|\sin(x)|\leq |x|$ extenderse a los números complejos?

Question

Como es bien conocido: $$|\sin(x)|\leq |x| \forall x \in \mathbb{R}.$$

Ahora bien, si tenemos un número complejo $z$; puedo preservar la misma desigualdad

$$|\sin(z)|\leq |z|\quad \forall z \in \mathbb{C}?$$

Answer 1

No, por ejemplo, $2i\sin( in)=e^{i(i n)}-e^{-i(i n)}=e^{-n}-e^n$ por lo tanto $$|\sin(in)|\geq \frac{e^n-e^{-n}}{2}\geq \frac{e^n-1}{2}$$ para cada entero $n$.

(un mazo argumento sería el teorema de Liouville, que se dice toda una limitada función es constante)

Answer 2

Supongamos que $f:\mathbb C\to\mathbb C$ es una analítica de la función tal que $|f(z)|\leq |z|$ todos los $z\in\mathbb C$. Definir $g:\mathbb C\to\mathbb C$ por $g(0)=f'(0)$, $g(z)=\frac{f(z)}{z}$ si $z\neq 0$. A continuación, $g$ es una analítica de la función de la satisfacción de $|g(z)|\leq 1$ todos los $z\in \mathbb C$. Por el Teorema de Liouville, $g$ es constante. Por lo tanto $f(z)=cz$ para algunas constantes $c\in\mathbb C$$|c|\leq 1$. En particular, $f\neq \sin$.

(Esta es, probablemente, más o menos lo que Davide G. tenía en mente cuando él se refiere a "un mazazo argumento.")

Answer 3

La respuesta es no. Hay muchos contraejemplos, por ejemplo, $z=3i$.

Es usted consciente de la compleja forma de la función seno? Consulte acerca de una cuarta parte de abajo de esta página: http://mathworld.wolfram.com/Sine.html. Se puede ayudar a entender por qué ocurre esto.

Answer 4

Las habituales fórmulas trigonométricas para $\cos$ $\sin$ también son válidos en el complejo de dominio; por otra parte $\cos(iy)=\cosh y$$\sin(i y)=i\sinh y$. De ello se sigue que $$\sin(x+iy)=\sin x\cos(i y)+\cos x\sin(iy)=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y$$ y por lo tanto $$|\sin(x+iy)|^2=\sin^2 x\cosh^2 y +\cos^2 x\sinh^2 y=\sin^2 x+\sinh^2 y\ .$$ Como $|\sinh y|$ aumenta exponencialmente con la $y\to \infty$ no hay estimación de la forma $$|\sin z|^2\leq C |z|^2\qquad(z\in{\mathbb C})$$ con un fijo $C>0$.