Infinitesimal $SO(N)$ transformaciones

Question

Un infinitesimal $SO(N)$ la matriz de transformación se puede escribir :

$$R_{ij} = \delta_{ij}+\theta_{ij}+O(\theta^2)$$

Ahora hay que demostrar que $\theta_{ij}$ es real y antisimétrico .

He comenzado con la condición de ortogonalidad de la siguiente manera:

$$R^TR=\boldsymbol 1$$ $$\implies (R^TR)_{ij}=\delta_{ij}$$ $$\implies \sum_kR^T_{ik}R_{jk}=\delta_{ij}$$ $$\implies \sum_kR_{ik}R_{jk}=\delta_{ij}$$ $$\implies \sum_kR_{ik}R_{ik}=\delta_{ii}$$ $$\implies \sum_jR_{ij}R_{ij}=1$$

Ahora puedo pegar mi forma infinitesimal de $R_{ij} $ en la fórmula anterior:

$$\sum_j(\delta_{ij}+\theta_{ij}+O(\theta^2))(\delta_{ij}+\theta_{ij}+O(\theta^2))=1$$ $$\implies \sum_j (\delta_{ij}\delta_{ij}+2\theta_{ij}\delta_{ij}+O(\theta^2))=1$$

Como puedes ver fácilmente mis cálculos no van a ninguna parte.

Answer 1

Primero,

$$R^{T}_{ij}=\delta_{ij}+\theta_{ij}^{T}=\delta_{ij}+\theta_{ji}$$

Ahora, en la última suma que has escrito, obtienes un resultado diferente,

$$\sum_j(\delta_{ij}+\theta_{ij}+O(\theta^2))(\delta_{ij}+\theta_{ji}+O(\theta^2))=\sum_j(\delta_{ij}+\theta_{ji})(\delta_{ij}+\theta_{ij})=\sum_j(\delta_{ij}\delta_{ij}+\delta_{ij}(\theta_{ij}+\theta_{ji})+\theta_{ij}\theta_{ji})=1$$

Esto es cierto, si $\theta_{ij}=-\theta_{ji}$ . Para demostrar que $\theta_{ij}$ es real, evalúa esto $\mathrm{Im}[(R^{T}R)_{ij}]$ . Verá que $\mathrm{Im}[(R^{T}R)_{ij}]=0$ .