¿Por qué los grupos de Lie son automáticamente variedades analíticas?

Question

En el libro de Kolar, Michor y Slovak, se demuestra que la multiplicación $\mu:G\times G\to G$ es analítica en alguna vecindad de $e$ . En concreto, muestran que en el gráfico dado por $\exp^{-1}$ con dominio en alguna vecindad del origen, la multiplicación es analítica real. Afirman que se deduce que $\mu$ es analítica en todo $G$ . Con esto, creo que quieren decir que siempre existe una estructura analítica real en $G$ en el que $\mu$ es analítica en todas partes.

¿Podría alguien proporcionar los detalles? Supongo que la idea es empujar esta vecindad de analiticidad alrededor del grupo utilizando el mapa de multiplicación y el hecho de que un grupo de Lie es generado por cualquier vecindad de $e$ . Sin embargo, esto sólo es cierto para conectado grupos de Lie, por lo que este enfoque fallaría, por ejemplo, para $\mathrm{O}(n)$ , $n>2$ .

Answer 1

Me gustaría señalar que la pregunta del título y la pregunta de tu post son diferentes. Todo colector liso $M$ admite un subatlas analítico máximo, y dos estructuras analíticas cualesquiera a elegir en $M$ compatibles con la estructura lisa son difeomorfos analíticamente. Por tanto, todo grupo de Lie admite una estructura lisa. La cuestión, por supuesto, es si $G$ admite una estructura analítica tal que la multiplicación es analítica (es decir, que es un grupo de Lie analítico). También es cierto que esta estructura analítica es única hasta el isomorfismo de grupo analítico (los homomorfismos de grupo son automáticamente analíticos).

En cuanto a su pregunta: Supongamos que $(U,\varphi)$ es su gráfico centrado en $0$ . Entonces $(gU, \varphi \circ L_{g^{-1}})$ es un gráfico centrado en $g$ . Sobre los solapamientos $hU \cap gU$ la función de transición es $\varphi L_{g^{-1}h} \varphi^{-1}$ . Así que todo lo que necesitas saber es por qué $L_{g^{-1}h}$ es analítico en $U \cap h^{-1}g U$ ; pero la misma suposición que diste es que es analítica en $U \times U$ . El punto clave aquí es que si $h$ y $g$ están demasiado alejados, por lo que la analiticidad de $\mu$ en $U$ no ayuda, entonces $hU \cap gU$ está vacía.

Así que esto proporciona un atlas analítico sobre $G$ . La cuestión, entonces, es si $\mu$ es analítica en todas partes. Pero esto es básicamente cierto por definición del atlas. Prefiero no escribirlo, pero el resto es más empuje de símbolos, exactamente del tipo anterior.

(El hecho de que la multiplicación de un grupo de Lie sea analítica se puede demostrar mediante la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, que se puede encontrar, por ejemplo, en el libro de Serre sobre grupos de Lie).

Answer 2

Supongamos que su grupo es lineal (un subgrupo cerrado de $GL(n,R)$ ), y que $\cal G \subset M(n, R)$ su álgebra de Lie. Entonces en una vecindad de la identidad, $G= \{g\in M(n,R)/ \log g \in \cal G \}$ , donde $r>0$ es un número pequeño, y $\log : B(Id, r)\subset M(n,R)$ es una función analítica. Esto demuestra que en la vecindad de la identidad, $G$ es un submanifold analítico de $Gl(n,R)$ , como $\cal G$ es sólo un espacio vectorial lineal. Pero la traslación a la izquierda por una matriz $A$ es ciertamente un automorfismo analítico (incluso polinómico) de $Gl(n,R)$ Así que $G$ es un submanifold analítico de la algebraica por lo tanto analítica. Así que $G$ es un submanifold analítico de $Gl(n,R)$ y un subgrupo, por tanto un grupo analítico. Para el caso general, se utiliza el hecho de que $\cal G$ puede incrustarse como una subálgebra de Lie de $M(n,R)$ y aplicar el mismo tipo de argumento.