Dimensión de Krull del cociente por un solo elemento

Question

Dejemos que $(R,m)$ sea un anillo local noetheriano y sea $M$ sea una entidad finitamente generada $R$ -módulo de dimensión $d$ . La dimensión de Krull de $M$ se define como la dimensión de Krull de $R/\operatorname{ann}(M)$ . Supongamos, para simplificar, que $M$ es fiel, es decir $\operatorname{ann}(M)=0$ . Por el teorema fundamental de la teoría de la dimensión, sabemos que $d$ es el menor número de elementos $x_1,\dots,x_d$ en $m$ de manera que el módulo $M/(x_1M+\cdots+x_d M)$ tiene una longitud finita. Utilizando un sistema de parámetros, es inmediato ver que para cualquier $x \in m$ debemos tener $\dim M/xM \ge \dim M -1$ . Esto implica que $\dim \frac{R}{\operatorname{ann}(M/xM)}$ puede caer como máximo en $1$ lo que a su vez implica que el ideal $\operatorname{ann}(M/xM)$ tiene una altura máxima de $1$ .

Pregunta: ¿Hay una forma directa de ver que $\operatorname{ht}(\operatorname{ann}(M/xM)) \le 1$ ?

A primera (y segunda) vista esto me parece notable, ya que parece que no puedo decir nada sobre la estructura de $\operatorname{ann}(M/xM)=(xM:_R M)$ mediante una inspección directa.

Answer 1

$\operatorname{Supp}M/xM=V(\operatorname{Ann}M/xM)$ ;
$\operatorname{Supp}M/xM=\operatorname{Supp}(R/xR\otimes_R M)=V(x)\cap\operatorname{Supp}M=V(xR+\operatorname{Ann}M)$ ;
$V(\operatorname{Ann}M/xM)=V(xR+\operatorname{Ann}M)$ .

Dejemos que $\bar R=R/\operatorname{Ann}M$ y $\bar x$ la clase de residuo de $x$ . Entonces $\bar R/\bar x\bar R=R/(xR+\operatorname{Ann}M)$ Así que $\operatorname{ht}(\operatorname{Ann}M/xM)=\min_{P\in V(\operatorname{Ann}M/xM)}\operatorname{ht}P=\min_{\bar P\in V(\bar x\bar R)}\operatorname{ht}\bar P=\operatorname{ht}(\bar x\bar R)\le 1$ .