Tetration de Alephs

Question

¿Esto significa nada?

$\underbrace{x^{x^{x^{...^{x^x}}}}}_n$

Donde $n = \aleph_0$?

Porque "sabe" que converge cuando (por ejemplo) $x = .5$ $n \to \infty$

Answer 1

Esto es significativo para los números ordinales sólo. Esta operación no tiene ningún significado en el cardenal aritmética (explicado a continuación). Podemos definir una operación $\uparrow \uparrow$ uso de la recursión transfinita de la siguiente manera:

$$\alpha \uparrow \uparrow 0 = 1$$

$$\alpha \uparrow \uparrow \beta + 1 = \alpha^{ \alpha \uparrow \uparrow \beta} $$

$$\alpha \uparrow \uparrow \gamma = \sup \{ \alpha \uparrow \uparrow \beta : \beta < \gamma \} \text{ where $\gamma$ is a limit ordinal}$$

EDIT: Esto sólo tiene sentido si estamos hablando de esto como una operación con el ordinal de los números. Esto no tiene ningún significado para los números cardinales. Sin embargo, podemos hablar de esta operación con el número ordinal $\omega$, por ejemplo.

El problema es que queremos que nuestra hipotética operación $2\uparrow \uparrow \omega$ o $2 \uparrow \uparrow \aleph_0$ a un punto fijo , de modo que $2^{ 2 \uparrow \uparrow \omega } = 2 \uparrow \uparrow \omega$. Pero si $\aleph_\kappa$ es un infinito cardenal, a continuación,$2^{\aleph_\kappa} \ne \aleph_\kappa$, por lo que la operación no tendría puntos fijos.