Si $x^n \equiv a \space (31)$, ¿cuántos valores de n y hay s.t sólo hay 10 soluciones?
No tengo idea de cómo hacer esto - realmente aprecio toda la ayuda.
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lhf
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Podemos suponer que la $a\ne0$, debido a $x^n \equiv 0 \bmod 31$ tiene una única solución.
Entonces, cualquier solución de $x^n \equiv a \bmod 31$ no es cero y por lo que es invertible.
A continuación, $x_1$ $x_2$ son soluciones de $x^n \equiv a \bmod 31$ fib $x_2=x_1 w$ donde $w^n \equiv 1 \bmod 31$.
Por lo tanto, la cuestión se reduce a:
Para que $n$, $w^n \equiv 1 \bmod 31$ tienen exactamente $10$ soluciones.
Para los $n$, por lo que $a$, $x^n \equiv a \bmod 31$ tiene una solución.
Para el primero, se $(\mathbb Z/ 31 \mathbb Z)^\times$ es un grupo cíclico de orden $30$, por lo que tiene un único subgrupo de orden $10$, generado por $g^3$ donde $g$ es una raíz primitiva de mod $31$. Podemos tomar $g=3$.
Por lo tanto, $w^n \equiv 1 \bmod 31$ tiene exactamente $10$ soluciones iff $\gcd(n,30)=10$, $n \equiv 10$ o $20 \bmod 30$.
El $a$ que $10$-th poderes son exactamente $1,g^{10}, g^{20}$, $1,5,25$.
G Tony Jacobs
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Si $a=0$, entonces la única solución para cualquier $n$$x\equiv 0$, por lo que podemos suponer $a$ es relativamente primer a $31$. El grupo multiplicativo modulo $31$ es cíclica, con el fin de $30$, y se puede encontrar un generador (es decir, una raíz primitiva); resulta que $3$ obras, por lo que cada número $1$ $30$puede ser escrito como una potencia de $3$, con un exponente único modulo $30$.
Este grupo es en realidad un campo, así que si quieres un polinomio exactamente $k$ soluciones, usted debe buscar a un grado $k$ polinomio. Décimo poderes, modulo $31$, son de la forma $3^{10k}$, por lo que tenemos $3^0\equiv 1$, $3^{10}\equiv 25$, y $3^{20}=5$.
También debe ser capaz de utilizar $n=20$, con los mismos valores de $a$.
