Puede que la Suma de Dos Tensor de Productos escribirse como un Único Producto Tensor?

Question

En general, si he a $|\Psi\rangle = (|\Psi_{1_1}\rangle \otimes |\Psi_{1_2}\rangle + |\Psi_{2_1}\rangle \otimes |\Psi_{2_2}\rangle)$, puedo encontrar $|\Psi_{3_1}\rangle$$|\Psi_{3_2}\rangle$, de tal manera que $|\Psi\rangle = |\Psi_{3_1}\rangle \otimes |\Psi_{3_2}\rangle$? Aquí $\otimes$ significa que el tensor de producto y $|\Psi\rangle$, y supone un vector. No se realiza ninguna suposición acerca de cualquier relación entre el $|\Psi_{i_j}\rangle$, salvo que todos ellos son de la misma dimensión y sus componentes son números complejos.

La motivación es el quantum experimento de doble rendija, donde el estado de onda, $|\Psi\rangle$, entre las rendijas y el detector, que es la suma de dos de interferencia de ondas, y $|\Psi\rangle$ todavía está en un "estado puro", lo que significa que $|\Psi\rangle$ también se puede escribir como un producto tensor

Answer 1

En general la respuesta es no y se puede ver claramente por qué cuando se mira en las dimensiones: $\dim (V\otimes W)$ es mucho más grande de lo $\dim (V\times W)$ siempre $V$ $W$ son de dimensión mayor que $1$. Esto indica que, en general, un tensor es más que un par de vectores.

Los tensores de la forma $a\otimes b$ son llamados puro tensores.

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Edit: Como se menciona en los comentarios, las dimensiones de observación no proporciona una prueba por sí mismo, es más bien una manera conveniente recordar este hecho. Si $\{e_i\}_{i=1}^n$ es una base de $V$ $\{f_i\}_{i=1}^m$ es una base de $W$, entonces una base de $V\otimes W$ está dado por $\{e_i\otimes f_j\}$ (dimensión $nm$) y un elemento de $V\otimes W$ puede ser representada por una $n\times m$ matriz donde las entradas son las coordenadas en las que se base. Ahora, con esta descripción, puro tensores son matrices de rango $1$. Excepto cuando se $\dim V$ o $\dim W$ es igual a $1$, no todas las matrices tienen rango $1$.

El subconjunto de puro tensores no es un subespacio, sin embargo, de un modo las dimensiones de observación podría ser engañoso.

Answer 2

La matriz $A=\begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0\\ 0&0& 0&0\\ 0&0&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$ es una suma de dos simples tensores que no es un simple tensor de sí mismo. En particular, $A=E_{11}\otimes E_{11}+E_{22}\otimes E_{22}$ donde$E_{11}=\begin{pmatrix} 1&0\\0&0\end{pmatrix}$$E_{22}=\begin{pmatrix} 0&0\\0&1\end{pmatrix}$. De hecho, este es uno de los puntos fuertes de quantum de la ciencia: no todos los estados cuánticos son estados puros. En álgebra lineal, no todos los tensores son simples tensores.