Número de matrices de $A$ tal que $A^{T}=A^2-I$

Question

Cuántas $3 \times 3$ no-simétrica y no singular matrices $A$ hay tales que $a^{T}=A^2-me?

Nota: $I$ denota la matriz identidad de tamaño $3 \times3$ $A^{T}$ representa la transpuesta de la matriz $A$.

Tomé la transposición en ambos lados en la ecuación dada para obtener $A=(A^T)^2-I$ y luego me puse a valor de $A^T$ en esta ecuación usando $A^{T}=A^2-I$ conseguir $A^3-2A-I=0$, que finalmente le dio $(A^T-A)(A+I)=0$ . Cómo tratar el problema de aquí? Y es mejor enfoque para hacer frente a este problema? Dada la respuesta es $0$

Answer 1

Tenemos $$(A^T - A)(A + I)=0$$

Desde $A$ es nonsingular, $\det A \neq 0 \implies \det A^T \neq 0 \implies \det (A^2 - I) \neq 0 \implies \det(A+I)\cdot\det(A-I)\neq 0$ $$\implies \det(A+I) \neq 0 \neq \det(A-I)$$

Por lo tanto, $$(A^T - A)(A + I)=0 \implies A^T - A = 0$$ Y hemos terminado

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Aquí hay algo más que me di cuenta. Usted llega a la siguiente ecuación: $$A^3 - 2A - I=0 \implies A^3 - A = A+I \implies A(A^2 - I) = A+I \implies AA^T = A +I \\ \implies A = AA^T - I$$ Por lo tanto, $A$ es simétrica

Answer 2

Tu idea es muy buena: $A=(A^T)^2-I$, por lo que $$ A=(A^2-I)^2-I $$ que se convierte en $A=A^4-2A^2+I-I$ y, debido a $A$ nonsingular, $A^3-2A-I=0$. Esto puede ser reescrita como $A(A^2-I)-(A+I)=0$ o $(A+I)(A^2-A-I)=0$, por lo tanto $(A+I)(A^T-A)=0$.

Usted tiene que excluir que $-1$ es un autovalor de a $A$, asegurando así $A+I$ es invertible, lo que llevaría a $A^T=A$.

Si $Av=-v$,$v\ne0$,$A^Tv=A^2v-v=0$. Esto no es posible debido a que $A^T$ es nonsingular. La suposición de que las matrices que se $3\times3$ no es necesario.

Answer 3

Me gustaría decir razón por la que el dan_fulea comentario es bueno y Ian comentario (upvoted!) es inadecuado y por qué se supone que $A$ es invertible. Tenga en cuenta también que la hipótesis de $n=3$ no tiene nada que hacer aquí. Suponga que $A\in M_n(K)$.

Caso 1. $K=\mathbb{R}$. Desde $AA^T=A^TA$, $A$ es normal y por lo tanto unitarily diagonalizable; entonces podemos suponer que la $A=diag(\lambda_i),A^T=diag(\overline{\lambda_i})$ donde $\overline{\lambda_i}=\lambda_i^2-1$. La ecuación anterior sólo tiene soluciones reales y, en consecuencia, $A=A^T$. Tenga en cuenta que la hipótesis de "$A$ invertible" es inútil.

Caso 2. $K=\mathbb{C}$. Tenga en cuenta que $A(A+I)(A^2-A-I)=0$ $A$ es diagonalizable sobre $\mathbb{R}$.

Si $\det(A)\not= 0$, $A(A^2-I)$ es invertible y, en consecuencia,$A(A+I)$; podemos deducir fácilmente que el$A^2-A-I=0$$A=A^T$.

Suponga que $\det(A)=0$ $A$ no simétrica; a continuación,$0,0^2-1=-1\in spectrum(A)$$A^2-A-I\not= 0$.

Para $n=2$ una solución es $A_2=1/2\begin{pmatrix}-1&-i\\i&-1\end{pmatrix}$ donde $spectrum(A_2)=\{0,-1\}$.

Para $n=3$, una solución es $A_3=diag(A_2,(1+\sqrt{5})/2)$ donde $spectrum(A_3)=\{0,-1,(1+\sqrt{5})/2\}$.

Answer 4

Desde $A^3-2A-I=0$ , cualquier autovalor de a $A$ satisface $$\lambda^3-2\lambda-1=0 \Rightarrow \lambda=-1, \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

Deje $\lambda_{1,2,3}$ ser los autovalores de a $A$. Entonces $$tr(A^T)=tr(A^2-I) \Rightarrow \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 = \lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2-3 \\ \Rightarrow \sum_{j=1}^3(\lambda_j^2 -\lambda_j -1) =0 \qquad (*)$$

Tenga en cuenta que $\lambda= \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ satisfacer $\lambda^2 -\lambda-1=0$, mientras que $\lambda=-1$ satisface $\lambda^2 -\lambda-1>0$

Se desprende de lo $(*)$ que $-1$ NO es un autovalor de a $A$.

Por lo tanto, el polinomio mínimo de a $A$ es $$\mu_A(x)=(x- \frac{1 +\sqrt{5}}{2})^\alpha (x- \frac{1 -\sqrt{5}}{2})^\beta$$

Por otra parte, desde la $A^3-2A-I=0$ tenemos $\mu_A(x) | X^3-2X-1$ y, por tanto,$\alpha, \beta \leq 1$.

Por lo tanto, tenemos tres opciones a la izquierda: $$\mu_A(x)=(x- \frac{1 +\sqrt{5}}{2})\\ \mu_A(x)= (x- \frac{1 -\sqrt{5}}{2})\\ \mu_A(x)=(x- \frac{1 +\sqrt{5}}{2}) (x- \frac{1 -\sqrt{5}}{2})$$

Los dos primeros llevan a las soluciones $$A=\lambda I \qquad \lambda= \frac{1 \pm +\sqrt{5}}{2}$$ Mientras que el último se da $$A^2-A-I =0$$ y por lo tanto $$A=A^T$$