No es un ejemplo de un lema sobre la continuidad

Question

Lema:
Dejemos que $f:(X,\mathcal{T})\longrightarrow(X',\mathcal{T'})$ sea un mapeo entre espacios topológicos donde $$X=\cup_{j=1}^m F_j$$ $\text{ with }F_j\text{ closed for }\mathcal{T},\, f_{|F_j} \text{ continuous },\forall j=1,\ldots,m.$
Entonces $f$ es continua.

Me gustaría encontrar un no ejemplo a eso cuando $X$ es un contablemente unión infinita de conjuntos cerrados.
Mi curso ya proporciona uno que me parece contraintuitivo, ya que hasta ahora he trabajado sobre todo en espacios métricos (la identidad entre $\mathbb{N}=\cup\{n\}$ con la topología cofinita y $\mathbb{N}$ con la topología discreta).
¿Es posible encontrar uno en el que los dos espacios sean $\mathbb{R}$ con la topología estándar?
He considerado la disyuntiva cerrada $X_n$ que cubren cada vez más $\mathbb{R}$ pero en vano.

Answer 1

Tome cualquier función $f$ de $\mathbb R$ en sí mismo. Para cada $x\in\mathbb R$ , $f|_{\{x\}}$ es continua y $\{x\}$ está cerrado. Pero $f$ no tiene por qué ser continua.

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Como otro ejemplo, considere $f\colon[0,1]\longrightarrow\mathbb R$ tal que $f(0)=0$ y que $f(x)=1$ de lo contrario. Entonces $f$ es discontinuo, pero si se define $I_0=\{0\}$ y, para cada natural $n$ , $I_n=\left[\frac1{n+1},\frac1n\right]$ entonces la restricción de $f$ a cada $I_n$ es continua, mientras que $f$ es discontinua.